Para resolver la inecuación \( \frac{4x - x^3}{x^2 - 2x - 3} > 0 \), seguiremos estos pasos:

### Paso 1: Factorizar el numerador y el denominador

- **Numerador**: \( 4x - x^3 = x(4 - x^2) = x(2 - x)(2 + x) \).
  
  Por lo tanto, el numerador se factoriza como:
  \[
  4x - x^3 = x(2 - x)(2 + x)
  \]

- **Denominador**: \( x^2 - 2x - 3 \).
  
  Factorizando:
  \[
  x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)
  \]

### Paso 2: Escribir la inecuación factorizada

La inecuación se reescribe como:
\[
\frac{x(2 - x)(2 + x)}{(x - 3)(x + 1)} > 0
\]

### Paso 3: Determinar los puntos críticos

Los puntos críticos son los valores de \( x \) que hacen que el numerador o el denominador sean cero:

- \( x = 0 \)
- \( x = 2 \)
- \( x = -2 \)
- \( x = 3 \)
- \( x = -1 \)

Estos valores dividen la recta real en intervalos que necesitamos analizar.

### Paso 4: Analizar el signo en cada intervalo

Los intervalos a analizar son:

1. \( (-\infty, -2) \)
2. \( (-2, -1) \)
3. \( (-1, 0) \)
4. \( (0, 2) \)
5. \( (2, 3) \)
6. \( (3, \infty) \)

Para cada intervalo, elegimos un punto de prueba y determinamos el signo de la expresión.

- **Intervalo \( (-\infty, -2) \):** Elijo \( x = -3 \). La expresión es positiva.
- **Intervalo \( (-2, -1) \):** Elijo \( x = -1.5 \). La expresión es negativa.
- **Intervalo \( (-1, 0) \):** Elijo \( x = -0.5 \). La expresión es positiva.
- **Intervalo \( (0, 2) \):** Elijo \( x = 1 \). La expresión es negativa.
- **Intervalo \( (2, 3) \):** Elijo \( x = 2.5 \). La expresión es positiva.
- **Intervalo \( (3, \infty) \):** Elijo \( x = 4 \). La expresión es negativa.

### Paso 5: Conclusión

La inecuación es positiva en los siguientes intervalos:

\[
(-\infty, -2) \cup (-1, 0) \cup (2, 3)
\]

Entonces, la solución a la inecuación es:

\[
x \in (-\infty, -2) \cup (-1, 0) \cup (2, 3)
\]

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes alguna pregunta?

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Aquí hay 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se determina la factorización de un polinomio?
2. ¿Por qué los puntos críticos son importantes en la resolución de inecuaciones?
3. ¿Qué sucede si un punto crítico se encuentra en el numerador o en el denominador?
4. ¿Cómo se puede representar gráficamente la solución de una inecuación?
5. ¿Qué son los intervalos y cómo se utilizan en la resolución de inecuaciones?

**Tip:** Siempre verifica tus factorizaciones, ya que errores en este paso pueden llevar a conclusiones incorrectas.

Learn how to solve the inequality (4x - x^3) / (x^2 - 2x - 3) > 0 with a detailed step-by-step solution. This problem involves inequalities and polynomial functions, focusing on factorization and critical point analysis. Suitable for high school students.

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