Bepaal een veelterm A(z) met graad drie waarvan 2 en -2 nulwaarden zijn en waarvoor geldt:
A(i) = -5 en A(0)= -4 +5 -4i.

We willen een veelterm \( A(z) \) van graad drie bepalen, waarbij 2 en -2 nulwaarden zijn, en waarvoor geldt:

- \( A(i) = -5 \)
- \( A(0) = -4 + 5 - 4i = 1 - 4i \)

### Stap 1: Gebruik de nulwaarden

Omdat 2 en -2 nulwaarden zijn, kunnen we de veelterm schrijven als:

\[
A(z) = c(z - 2)(z + 2)(z - r)
\]

waar \( r \) de derde nulwaarde is, en \( c \) een constante.

### Stap 2: Gebruik de voorwaarde \( A(0) = 1 - 4i \)

Substitueer \( z = 0 \) in \( A(z) \):

\[
A(0) = c(0 - 2)(0 + 2)(0 - r) = c(-2)(2)(-r) = 4cr
\]

Dit moet gelijk zijn aan \( 1 - 4i \), dus:

\[
4cr = 1 - 4i \quad \text{(1)}
\]

### Stap 3: Gebruik de voorwaarde \( A(i) = -5 \)

Substitueer \( z = i \) in \( A(z) \):

\[
A(i) = c(i - 2)(i + 2)(i - r)
\]

We berekenen de afzonderlijke factoren:

\[
i - 2 = -2 + i, \quad i + 2 = 2 + i
\]

Nu vermenigvuldigen we deze termen:

\[
(i - 2)(i + 2) = (-2 + i)(2 + i) = -4 + 2i - 2i + i^2 = -4 + (-1) = -5
\]

Dus:

\[
A(i) = c(-5)(i - r) = -5c(i - r)
\]

Dit moet gelijk zijn aan -5, dus:

\[
-5c(i - r) = -5
\]

We delen door -5:

\[
c(i - r) = 1 \quad \text{(2)}
\]

### Stap 4: Los systeem van vergelijkingen op

We hebben nu twee vergelijkingen:

1. \( 4cr = 1 - 4i \)
2. \( c(i - r) = 1 \)

We kunnen deze oplossen om \( c \) en \( r \) te bepalen.

Laten we eerst proberen \( r \) en \( c \) te vinden door dit systeem op te lossen.De oplossingen voor \( c \) en \( r \) zijn:

\[
c = -1 - \frac{5i}{4}
\]
\[
r = \frac{16}{41} + \frac{21i}{41}
\]

### Stap 5: Stel de veelterm \( A(z) \) op

We kunnen nu de veelterm \( A(z) \) schrijven als:

\[
A(z) = (-1 - \frac{5i}{4})(z - 2)(z + 2)(z - \left( \frac{16}{41} + \frac{21i}{41} \right))
\]

Wil je een verdere uitwerking of uitleg over dit resultaat?

### Vragen:
1. Hoe verhoudt de keuze van \( r \) zich tot de vereiste condities voor \( A(z) \)?
2. Wat gebeurt er als we een andere constante \( c \) kiezen?
3. Hoe kunnen we de wortels visualiseren in het complexe vlak?
4. Hoe beïnvloeden complexe wortels de vorm van een veelterm?
5. Wat zijn de implicaties van de gekozen \( c \) voor het gedrag van de veelterm?

**Tip:** Controleer altijd de berekeningen door de condities in te vullen in de gevonden veelterm.

Bepaal een veelterm A(z) met graad drie waarvan 2 en -2 nulwaarden zijn en waarvoor geldt: A(i) = -5 en A(0)= -4 +5 -4i.

Solve the polynomial A(z) of degree 3, given that 2 and -2 are roots, and that A(i) = -5 and A(0) = 1 - 4i. This solution involves complex numbers and polynomial algebra, including the Fundamental Theorem of Algebra.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation