tentukan bentuk polar dan bentuk eksponen dari z=√3+i

Untuk menentukan bentuk polar dan bentuk eksponen dari bilangan kompleks \( z = \sqrt{3} + i \), kita harus melalui beberapa langkah. Berikut adalah langkah-langkahnya:

### 1. Tentukan nilai modulus \( r \) dari \( z \)
Modulus dari bilangan kompleks adalah panjang dari titik \( z \) di dalam diagram argand, yang dapat dihitung dengan rumus:

\[
r = |z| = \sqrt{(\text{Re}(z))^2 + (\text{Im}(z))^2}
\]

Substitusi \( z = \sqrt{3} + i \):
\[
r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2
\]

Jadi, \( r = 2 \).

### 2. Tentukan argumen \( \theta \) dari \( z \)
Argumen \( \theta \) adalah sudut yang dibentuk oleh bilangan kompleks \( z \) terhadap sumbu real positif. Rumus untuk argumen adalah:

\[
\theta = \tan^{-1} \left( \frac{\text{Im}(z)}{\text{Re}(z)} \right)
\]

Substitusi \( \text{Im}(z) = 1 \) dan \( \text{Re}(z) = \sqrt{3} \):
\[
\theta = \tan^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\pi}{6}
\]

Jadi, \( \theta = \frac{\pi}{6} \) radian.

### 3. Bentuk polar
Bentuk polar dari bilangan kompleks adalah:

\[
z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)
\]

Substitusi nilai \( r = 2 \) dan \( \theta = \frac{\pi}{6} \):

\[
z = 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right)
\]

### 4. Bentuk eksponen
Bentuk eksponen dari bilangan kompleks menggunakan rumus Euler, yaitu:

\[
z = r e^{i\theta}
\]

Substitusi nilai \( r = 2 \) dan \( \theta = \frac{\pi}{6} \):

\[
z = 2 e^{i \frac{\pi}{6}}
\]

### Hasil Akhir:
- **Bentuk polar**: \( z = 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) \)
- **Bentuk eksponen**: \( z = 2 e^{i \frac{\pi}{6}} \)

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan?

#### 5 Pertanyaan terkait:
1. Bagaimana cara menentukan modulus dari bilangan kompleks?
2. Apa hubungan antara bentuk polar dan bentuk eksponen?
3. Mengapa bentuk eksponen sering disebut bentuk Euler?
4. Bagaimana cara menghitung argumen bilangan kompleks jika letaknya di kuadran lain?
5. Apa keuntungan menggunakan bentuk polar dalam operasi bilangan kompleks?

**Tip**: Mengonversi bilangan kompleks ke bentuk polar atau eksponen sangat membantu dalam perkalian dan pembagian, karena modulus dan argumen dapat dioperasikan secara langsung.

Learn how to find the polar and exponential form of the complex number z = √3 + i. This problem demonstrates how to calculate the modulus and argument of complex numbers, and convert them into polar and exponential form using key formulas. Suitable for students in Grades 11-12 or early college.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation