tentukan bentuk polan dari bentuk kompleks berikut z = 1 - √-3i

Untuk menentukan bentuk polar dari bilangan kompleks \( z = 1 - \sqrt{-3}i \), kita perlu mengekspresikan bilangan kompleks tersebut dalam bentuk \( z = re^{i\theta} \) atau \( z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \). Berikut adalah langkah-langkahnya:

1. **Identifikasi bagian real dan imajiner:**

   \( z = 1 - \sqrt{-3}i \)

   Bagian real (\(a\)) = 1

   Bagian imajiner (\(b\)) = -\sqrt{3} 

2. **Hitung magnitudo (r):**

   \[
   r = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2
   \]

3. **Hitung sudut (θ):**

   \[
   \theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{1}\right)
   \]

   Sudut ini adalah negatif karena bagian imajiner negatif. Karena kita tahu bahwa \(\tan(240^\circ) = \tan(-60^\circ) = -\sqrt{3}\), maka:

   \[
   \theta = -\frac{\pi}{3} \quad \text{(atau dalam derajat, -60°)}
   \]

4. **Tuliskan dalam bentuk polar:**

   \[
   z = re^{i\theta} = 2e^{-i\pi/3}
   \]

   Atau dalam bentuk trigonometri:

   \[
   z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)
   \]

   Ingat bahwa \(\cos(-\theta) = \cos(\theta)\) dan \(\sin(-\theta) = -\sin(\theta)\), maka:

   \[
   z = 2\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)
   \]

   Dengan \(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\) dan \(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\):

   \[
   z = 2\left(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 - \sqrt{3}i
   \]

Jadi, bentuk polar dari bilangan kompleks \( z = 1 - \sqrt{-3}i \) adalah \( 2e^{-i\pi/3} \).

Apakah Anda menginginkan penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain? Berikut adalah beberapa pertanyaan yang dapat membantu pemahaman lebih lanjut:

1. Bagaimana cara menentukan magnitudo bilangan kompleks?
2. Apa itu bentuk polar dari bilangan kompleks?
3. Bagaimana cara menghitung sudut \(\theta\) dari bilangan kompleks?
4. Mengapa penting untuk mengidentifikasi bagian real dan imajiner dari bilangan kompleks?
5. Apa hubungan antara bentuk kartesian dan bentuk polar dari bilangan kompleks?
6. Bagaimana cara menggunakan aturan trigonometri dalam konversi bentuk bilangan kompleks?
7. Bagaimana cara menentukan kuadran dari sudut \(\theta\) pada bilangan kompleks?
8. Apa perbedaan antara bentuk polar dan bentuk eksponensial dari bilangan kompleks?

**Tip:** Menguasai konversi antara bentuk kartesian dan bentuk polar dari bilangan kompleks sangat berguna dalam banyak aplikasi matematika dan teknik, termasuk analisis sinyal dan pemrosesan citra.

Learn how to find the polar form of the complex number z = 1 - √(-3)i step-by-step. This problem involves converting a complex number from Cartesian form to polar form using concepts like magnitude and argument of complex numbers, and Euler's formula. Suitable for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation