Pour exprimer le nombre complexe \( z = \sqrt{3} - 3i \) sous forme exponentielle, nous devons le convertir en utilisant la notation \( z = r e^{i \theta} \), où \( r \) est le module et \( \theta \) est l’argument de \( z \).

### Étapes

1. **Calcul du module \( r \) :**
   \[
   r = |z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-3)^2} = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}
   \]

2. **Calcul de l'argument \( \theta \) :**
   \[
   \theta = \arg(z) = \arctan\left(\frac{-3}{\sqrt{3}}\right) = \arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}
   \]

3. **Expression exponentielle :**
   \[
   z = 2\sqrt{3} \, e^{-i\frac{\pi}{3}}
   \]

### Résultat final
La forme exponentielle de \( z = \sqrt{3} - 3i \) est :
\[
z = 2\sqrt{3} \, e^{-i\frac{\pi}{3}}
\]

Avez-vous des questions ou souhaitez-vous plus de détails ?  

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1. Comment convertir un nombre complexe de forme exponentielle en forme cartésienne ?
2. Comment déterminer l’argument d'un nombre complexe dans chaque quadrant ?
3. Quelles sont les propriétés de la forme exponentielle des nombres complexes ?
4. Comment passer de la forme exponentielle à la forme trigonométrique d'un nombre complexe ?
5. Pourquoi utilise-t-on la forme exponentielle en analyse complexe ?

**Astuce :** En calcul complexe, la forme exponentielle simplifie la multiplication et la division de nombres complexes grâce aux propriétés des exponentielles.

Learn how to express the complex number z = sqrt(3) - 3i in exponential form. This solution guides you through calculating the modulus and argument to rewrite the number as z = r * e^(iθ), using key concepts like complex numbers, polar coordinates, and Euler's formula. Suitable for Grades 11-12.

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