Pour exprimer le nombre complexe $z = \sqrt{3} - 3i$ sous forme exponentielle, nous devons le convertir en utilisant la notation $z = r e^{i \theta}$, où $r$ est le module et $\theta$ est l’argument de $z$.

Étapes

1. Calcul du module $r$ : $r = |z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-3)^2} = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

2. Calcul de l'argument $\theta$ : $\theta = \arg(z) = \arctan\left(\frac{-3}{\sqrt{3}}\right) = \arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$

3. Expression exponentielle : $z = 2\sqrt{3} \, e^{-i\frac{\pi}{3}}$

Résultat final

La forme exponentielle de $z = \sqrt{3} - 3i$ est : $z = 2\sqrt{3} \, e^{-i\frac{\pi}{3}}$

Avez-vous des questions ou souhaitez-vous plus de détails ?

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1. Comment convertir un nombre complexe de forme exponentielle en forme cartésienne ?
2. Comment déterminer l’argument d'un nombre complexe dans chaque quadrant ?
3. Quelles sont les propriétés de la forme exponentielle des nombres complexes ?
4. Comment passer de la forme exponentielle à la forme trigonométrique d'un nombre complexe ?
5. Pourquoi utilise-t-on la forme exponentielle en analyse complexe ?

Astuce : En calcul complexe, la forme exponentielle simplifie la multiplication et la division de nombres complexes grâce aux propriétés des exponentielles.