Máme k dispozici následující měření:

$X = (11, 10, 11, 12, 11, 14, 11, 12, 10, 13)$

Provedeme následující výpočty:

1. Bodový odhad pro střední hodnotu (průměr)

   Průměrná hodnota $\bar{X}$ je: $\bar{X} = \frac{11 + 10 + 11 + 12 + 11 + 14 + 11 + 12 + 10 + 13}{10} = \frac{115}{10} = 11.5$

2. Bodový odhad pro rozptyl (varianci)

   Rozptyl $s^2$ vypočítáme jako: $s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2$ kde $n = 10$.

   Po dosazení a výpočtu získáme: $s^2 = \frac{(11 - 11.5)^2 + (10 - 11.5)^2 + \dots + (13 - 11.5)^2}{9} = 2.1667$

3. Intervalový odhad pro střední hodnotu

   Předpokládáme, že data pochází z normálního rozdělení. Pro střední hodnotu použijeme $t$-interval. Kritická hodnota $t_{\alpha/2}$ při hladině významnosti $\alpha = 0.05$ a stupních volnosti $df = 9$ je přibližně 2.262.

   Interval pro střední hodnotu je: $\bar{X} \pm t_{\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} = 11.5 \pm 2.262 \cdot \frac{\sqrt{2.1667}}{\sqrt{10}}$ což po výpočtu dává přibližně: $11.5 \pm 0.982 = (10.518, 12.482)$

4. Intervalový odhad pro rozptyl

   Pro intervalový odhad rozptylu použijeme $\chi^2$-rozdělení. Kritické hodnoty $\chi^2$ při hladině $\alpha = 0.05$ a stupních volnosti $df = 9$ jsou přibližně $\chi^2_{0.025, 9} = 2.7$ a $\chi^2_{0.975, 9} = 19.0$.

   Interval pro rozptyl je: $\left( \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.975, 9}}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.025, 9}} \right)$ což po dosazení dává: $\left( \frac{9 \cdot 2.1667}{19.0}, \frac{9 \cdot 2.1667}{2.7} \right) = (1.026, 7.222)$

5. Testování hypotézy $H_0: \mu = 10$ při hladině významnosti $\alpha = 0.05$

   Provedeme $t$-test: $t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} = \frac{11.5 - 10}{\sqrt{2.1667} / \sqrt{10}} = 2.894$

   Kritická hodnota pro $t$-test při hladině významnosti 5 % a $df = 9$ je přibližně $t_{0.025, 9} = 2.262$. Protože $|2.894| > 2.262$, zamítáme nulovou hypotézu $H_0$.

Shrnutí:

• Bodový odhad pro střední hodnotu: $11.5$
• Intervalový odhad pro střední hodnotu: $(10.518, 12.482)$
• Bodový odhad pro rozptyl: $2.1667$
• Intervalový odhad pro rozptyl: $(1.026, 7.222)$
• Test výsledku: Zamítáme $H_0: \mu = 10$ na hladině významnosti 5 %.

Potřebujete podrobnosti k výpočtu nebo máte otázky?

Doplňující otázky

1. Jak by vypadal výpočet pro hladinu významnosti 1 %?
2. Co by se stalo, kdyby rozptyl nebyl známý a museli bychom ho odhadovat jinak?
3. Jak lze interpretovat intervalový odhad v kontextu pravděpodobnosti?
4. Jak bychom mohli ověřit normalitu dat pro správnost testu?
5. Jaký test bychom použili pro medián místo střední hodnoty?

Tip: Při testování hypotézy vždy pečlivě sledujte předpoklady, jako je normalita dat nebo velikost vzorku.