Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через начало координат, вектор нормали к которой образует углы $\alpha = 90^\circ$ и $\gamma = 30^\circ$ с осями координат, воспользуемся геометрической формулой для уравнения плоскости.

Уравнение плоскости в общем виде: $Ax + By + Cz = 0$ где $(A, B, C)$ — компоненты вектора нормали к плоскости. Этот вектор можно найти, зная углы, которые он образует с осями координат.

Шаг 1. Вектор нормали

Пусть угол между вектором нормали и осью $x$ равен $\alpha$, угол с осью $y$ — $\beta$, и угол с осью $z$ — $\gamma$. Тогда компоненты вектора нормали можно выразить через косинусы углов с осями:

$A = \cos(\alpha), \quad B = \cos(\beta), \quad C = \cos(\gamma)$

Из условия задачи известно, что:

• $\alpha = 90^\circ$,
• $\gamma = 30^\circ$,
• угол с осью $y$ ($\beta$) нам не задан напрямую, но мы можем найти его из того, что сумма углов между вектором нормали и осями равна $180^\circ$.

Шаг 2. Вычисление компонента $B$

Поскольку угол $\alpha = 90^\circ$, это означает, что вектор нормали перпендикулярен оси $x$, то есть: $A = \cos(90^\circ) = 0$

Для угла $\gamma = 30^\circ$: $C = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Поскольку сумма углов между вектором нормали и осями должна равняться $180^\circ$, то угол $\beta$ с осью $y$ можно найти следующим образом: $\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$

Таким образом, для компонента $B$: $B = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$

Шаг 3. Уравнение плоскости

Теперь, зная все компоненты вектора нормали $(A, B, C) = (0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, мы можем подставить эти значения в уравнение плоскости:

$0 \cdot x + \frac{1}{2} \cdot y + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot z = 0$ или $y + \sqrt{3} z = 0$

Это и есть уравнение плоскости.

Ответ:

Уравнение плоскости, проходящей через начало координат и с данным вектором нормали, имеет вид: $y + \sqrt{3}z = 0$

Хотите подробнее разобраться с этим решением или есть вопросы? Вот несколько дополнительных вопросов:

1. Как можно обобщить метод для нахождения уравнений плоскости, если нормаль образует произвольные углы с осями?
2. Как изменить уравнение плоскости, если она не проходит через начало координат?
3. Как можно использовать вектор нормали для нахождения угла между двумя плоскостями?
4. Как найти уравнение плоскости, если известен не угол между нормалями, а углы между самими плоскостями?
5. Что произойдет, если углы между нормалью и осями координат равны $0^\circ$?

Совет: В задачах с плоскостями и углами важно чётко уметь работать с косинусами углов и понимать, что они определяют направления нормали относительно осей.