Давайте розв'яжемо задачу покроково.

1. Загальна схема:

• ABCD — правильний тетраедр, отже, всі його сторони рівні і дорівнюють $a$.
• Точка $M$ ділить ребро $BD$ у відношенні $1:3$, тобто $BM:MD = 1:3$.

Необхідно знайти периметр і площу перерізу тетраедра, що проходить через точки $A$, $C$ і $M$, а також окремо знайти довжину сторони $MC$.

2. Координати вершин тетраедра:

Для зручності розв'яжемо задачу, ввівши координати вершин правильного тетраедра. Позначимо координати вершин $A$, $B$, $C$ і $D$ таким чином:

• $A = (0, 0, 0)$,
• $B = (a, 0, 0)$,
• $C = \left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{2}, 0 \right)$,
• $D = \left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{6}, \frac{\sqrt{6}a}{3}\right)$.

3. Координати точки M:

Точка $M$ ділить відрізок $BD$ у відношенні 1:3, тому її координати можна знайти за формулою поділу відрізка у заданому відношенні:

[ M = \frac{3B + D}{1+3} = \frac{3(a, 0, 0) + \left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{6}, \frac{\sqrt{6}a