сделай через обычную стереомтерию и формулы

Щоб знайти периметр і площу перерізу правильного тетраедра \( ABCD \), який проходить через точки \( A \), \( C \) і \( M \), використаємо класичні методи стереометрії.

### Відомі умови:
1. Тетраедр \( ABCD \) правильний, тобто всі його сторони рівні \( AB = a \).
2. Точка \( M \) ділить ребро \( BD \) у відношенні \( BM : MD = 1 : 3 \).

### Крок 1: Розміщення вершин тетраедра у просторі
У правильному тетраедрі всі ребра рівні, і для зручності ми можемо обчислювати перетин через геометричні властивості. Розмістимо вершини так:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(a, 0, 0) \)
- \( C \left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0 \right) \)
- \( D \left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{6}, \frac{a\sqrt{6}}{3} \right) \)

### Крок 2: Координати точки \( M \)
Оскільки точка \( M \) ділить ребро \( BD \) у відношенні \( 1:3 \), скористаємось формулою внутрішнього ділення:
\[
M = \frac{3B + D}{4}
\]
Координати точки \( B \) та \( D \):
\[
B = (a, 0, 0), \quad D = \left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{6}, \frac{a\sqrt{6}}{3}\right)
\]
Знаходимо координати точки \( M \):
\[
M = \left(\frac{3a + \frac{a}{2}}{4}, \frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{4}, \frac{\frac{a\sqrt{6}}{3}}{4}\right) = \left(\frac{7a}{8}, \frac{a\sqrt{3}}{24}, \frac{a\sqrt{6}}{12}\right)
\]

### Крок 3: Периметр трикутника \( AMC \)
Трикутник \( AMC \) утворює переріз. Щоб знайти його периметр, обчислимо довжини сторін \( AM \), \( AC \) та \( CM \).

#### 1. Довжина сторони \( AC \):
Координати точок \( A(0, 0, 0) \) та \( C\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0 \right) \):
\[
AC = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2} - 0\right)^2 + (0 - 0)^2}
\]
\[
AC = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{a^2} = a
\]

#### 2. Довжина сторони \( AM \):
Координати точок \( A(0, 0, 0) \) та \( M\left(\frac{7a}{8}, \frac{a\sqrt{3}}{24}, \frac{a\sqrt{6}}{12} \right) \):
\[
AM = \sqrt{\left(\frac{7a}{8} - 0\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{24} - 0\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{6}}{12} - 0\right)^2}
\]
\[
AM = \sqrt{\left(\frac{7a}{8}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{24}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{6}}{12}\right)^2}
\]
\[
AM = \sqrt{\frac{49a^2}{64} + \frac{a^2}{192} + \frac{a^2}{72}} = \sqrt{\frac{49a^2}{64} + \frac{3a^2}{576} + \frac{8a^2}{576}} = \sqrt{\frac{49a^2}{64} + \frac{11a^2}{576}}
\]
Приводимо до спільного знаменника:
\[
AM = \sqrt{\frac{441a^2}{576} + \frac{11a^2}{576}} = \sqrt{\frac{452a^2}{576}} = \frac{\sqrt{452}a}{24}
\]
Приблизно:
\[
AM \approx \frac{21.26a}{24} \approx 0.886a
\]

#### 3. Довжина сторони \( CM \):
Координати точок \( C \left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0 \right) \) та \( M\left(\frac{7a}{8}, \frac{a\sqrt{3}}{24}, \frac{a\sqrt{6}}{12} \right) \):
\[
CM = \sqrt{\left(\frac{7a}{8} - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{24} - \frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{6}}{12} - 0\right)^2}
\]
Обчислимо:
\[
CM = \sqrt{\left(\frac{7a}{8} - \frac{4a}{8}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{24} - \frac{12a\sqrt{3}}{24}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{6}}{12}\right)^2}
\]
\[
CM = \sqrt{\left(\frac{3a}{8}\right)^2 + \left(\frac{-11a\sqrt{3}}{24}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{6}}{12}\right)^2}
\]
\[
CM = \sqrt{\frac{9a^2}{64} + \frac{121

сделай через обычную стереометрию и формулы

Solve a stereometry problem involving a regular tetrahedron. Learn how to calculate the perimeter and area of a cross-section through points A, C, and M. This solution uses fundamental 3D geometry formulas and theorems, suitable for Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation