Problema:

En una clase de 8 estudiantes, el profesor necesita formar un equipo de 3 estudiantes para participar en una competencia. Además, quiere asignar un rol específico a cada estudiante en el equipo: capitán, vicecapitán y miembro.

Preguntas:

1. ¿Cuántas combinaciones diferentes de estudiantes se pueden formar si solo importa quién está en el equipo, pero no el rol que desempeñan?
2. ¿Cuántas permutaciones diferentes se pueden formar si además se debe asignar un rol específico (capitán, vicecapitán, miembro) a cada estudiante del equipo?

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Solución:

1. Combinaciones: El número de maneras de elegir 3 estudiantes de un total de 8 se calcula usando combinaciones, ya que el orden no importa. $\text{C}(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ Entonces, hay 56 maneras de formar un equipo de 3 estudiantes.

2. Permutaciones: Si el orden importa, como en el caso de asignar los roles de capitán, vicecapitán y miembro, se utilizan permutaciones. $\text{P}(8, 3) = \frac{8!}{(8-3)!} = 8 \times 7 \times 6 = 336$ Entonces, hay 336 maneras de formar el equipo y asignar los roles.

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¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre este problema?

Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo cambia el número de combinaciones si el equipo tiene 4 estudiantes en lugar de 3?
2. ¿Cómo se calcularían las combinaciones si los roles de capitán y vicecapitán no fueran asignados?
3. Si hubiera 10 estudiantes en lugar de 8, ¿cuántas permutaciones se podrían formar con 3 roles asignados?
4. ¿Qué sucede con las combinaciones si no hay restricciones de rol y todos los estudiantes son iguales?
5. ¿Cómo afecta el número total de permutaciones si se permite que un estudiante tenga más de un rol?

Tip:

Recuerda que combinaciones se usan cuando el orden no importa, mientras que permutaciones se usan cuando el orden sí importa.