12 kişinin katıldığı bir yarışta ayça ve betülün yalnızca birinin ilk üç sıra içerisinde olduğu bilindiğine göre ilk üç sıralama kaç farklı biçimde oluşabilir

Bu problemde, 12 kişinin katıldığı bir yarışmada Ayça ve Betül'ün yalnızca birinin ilk üç sırada olduğu durumları incelememiz gerekiyor. Problemi adım adım çözerek ilerleyelim:

1. **Toplam Durumlar:**
   Öncelikle, herhangi bir kısıtlama olmaksızın ilk üç sırayı seçebileceğimiz toplam farklı durum sayısını bulalım. 12 kişi içerisinden üç sıraya seçim yapıyoruz:
   
   - İlk sıraya 12 kişiden birini seçebiliriz.
   - İkinci sıraya kalan 11 kişiden birini seçebiliriz.
   - Üçüncü sıraya kalan 10 kişiden birini seçebiliriz.

   Yani, toplamda:
   \[
   12 \times 11 \times 10 = 1320
   \]
   farklı şekilde ilk üç sırayı doldurabiliriz.

2. **Ayça ve Betül'ün İlk Üçte Olma Durumları:**
   Şimdi, sadece Ayça ya da sadece Betül'ün ilk üç sırada olduğu durumları inceleyelim.

   a) **Ayça'nın İlk Üçte Olması, Betül'ün İlk Üçte Olmaması:**
   
   - İlk üç sıradan birine Ayça'yı yerleştirebiliriz (3 farklı seçenek).
   - Kalan iki sırayı Betül haricindeki 10 kişiden seçeceğiz. Bu iki sırayı şu şekilde doldururuz:
     \[
     10 \times 9 = 90
     \]
   - Ayça'yı seçtiğimiz 3 pozisyonla çarparsak:
     \[
     3 \times 90 = 270
     \]
     farklı durum.

   b) **Betül'ün İlk Üçte Olması, Ayça'nın İlk Üçte Olmaması:**
   
   - Aynı mantıkla, Betül'ü üç sıradan birine yerleştirip, kalan iki sırayı Ayça haricindeki 10 kişiden seçelim:
     \[
     3 \times 90 = 270
     \]
     farklı durum.

3. **Sonuç:**
   Ayça'nın veya Betül'ün yalnızca birinin ilk üç sırada olduğu durumları toplarsak:
   \[
   270 + 270 = 540
   \]
   Sonuç olarak, bu yarışmada Ayça ve Betül'ün yalnızca birinin ilk üç sırada olduğu durum sayısı **540** farklı biçimde olabilir.

---

Herhangi bir sorunuz var mı? Daha fazla ayrıntı veya açıklama ister misiniz?

### Genişletilmiş Sorular:
1. Eğer Ayça ve Betül'ün her ikisinin de ilk üçte olduğu durumlar kaç farklı biçimde olabilir?
2. Ayça ve Betül ilk üç sıraya yerleştiğinde geri kalan yarışmacılar için kaç farklı sıralama mümkündür?
3. Betül'ün birinci sırada olduğu ve Ayça'nın ilk üçte olmadığı kaç farklı durum mümkündür?
4. Ayça'nın ilk üç sıraya yerleşmediği durumlar kaç farklı biçimde olabilir?
5. Eğer Ayça ve Betül dışındaki yarışmacılar arasında birinci gelen kişiyi bulmak isterseniz kaç farklı seçenek vardır?

### İpucu:
Bir kombinatorik problemi çözerken, önce toplam tüm durumları hesaplamak, ardından verilen kısıtlamalara göre durumları elemeyi düşünmek iyi bir stratejidir.

12 kişinin katıldığı bir yarışta Ayça ve Betül'ün yalnızca birinin ilk üç sıra içerisinde olduğu bilindiğine göre ilk üç sıralama kaç farklı biçimde oluşabilir?

Explore how to calculate the number of ways to fill the top three positions in a race of 12 people, given that only one of Ayça or Betül is in the top three. This detailed solution covers combinatorics and permutations, suitable for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation