Baik, saya akan membantu menyelesaikan soal nomor 2, 3, dan 4.

---

Nomor 2: Penyelesaian Pertidaksamaan

$\frac{x-2}{x^2} \leq \frac{x+1}{x-3}$

Langkah-langkah:

1. Samakan penyebut: Gabungkan pecahan menjadi satu bentuk. Caranya adalah mencari penyebut sama, yaitu $x^2(x-3)$.

$\frac{x-2}{x^2} - \frac{x+1}{x-3} \leq 0$

2. Satukan dalam satu pecahan: $\frac{(x-2)(x-3) - x^2(x+1)}{x^2(x-3)} \leq 0$

3. Sederhanakan pembilangnya:

   • Hitung perkalian di pembilang: $(x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6$ $x^2(x+1) = x^3 + x^2$
   • Selisih pembilang: $(x^2 - 5x + 6) - (x^3 + x^2) = -x^3 - 4x^2 - 5x + 6$

Sehingga, pertidaksamaan menjadi: $\frac{-x^3 - 4x^2 - 5x + 6}{x^2(x-3)} \leq 0$

4. Tentukan titik kritis:

   • Pembilang $-x^3 - 4x^2 - 5x + 6 = 0$ (cari akar polinomial, dengan trial and error atau faktorisasi numerik).
   • Penyebut $x^2(x-3) = 0$, maka $x = 0$ dan $x = 3$.

5. Buat garis bilangan dan tentukan tanda tiap interval dengan uji titik.

---

Nomor 3: Limit

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2 + 5} - 3}{x - 2}$

Langkah-langkah:

1. Perhatikan bentuk limit: Ini adalah bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, jadi perlu diakali dengan mengalikan sekawan.

$\frac{\sqrt{x^2 + 5} - 3}{x - 2} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 5} + 3}{\sqrt{x^2 + 5} + 3}$

2. Sederhanakan pembilang: $(\sqrt{x^2 + 5})^2 - 3^2 = x^2 + 5 - 9 = x^2 - 4$

Maka limit menjadi: $\frac{(x^2 - 4)}{(x - 2)(\sqrt{x^2 + 5} + 3)}$

3. Faktorkan $x^2 - 4$: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$

Substitusikan ke limit: $\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(\sqrt{x^2 + 5} + 3)}$

4. Sederhanakan: Coret $x-2$ (karena $x \neq 2$): $\lim_{x \to 2} \frac{x+2}{\sqrt{x^2 + 5} + 3}$

5. Substitusi $x = 2$: $\frac{2+2}{\sqrt{2^2 + 5} + 3} = \frac{4}{\sqrt{4 + 5} + 3} = \frac{4}{\sqrt{9} + 3} = \frac{4}{3 + 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Jawaban: $\frac{2}{3}$.

---

Nomor 4: Integral

$\int \frac{1}{5 + 2x + 3x^2} \, dx$

Langkah-langkah:

1. Penyederhanaan penyebut: Ubah bentuk penyebut menjadi: $5 + 2x + 3x^2 = 3x^2 + 2x + 5$

2. Gunakan substitusi atau metode integral parsial:
   Penyebut berbentuk kuadrat umum, gunakan metode substitusi atau integral dengan bentuk standar: $\int \frac{1}{ax^2 + bx + c} \, dx$ di mana $a = 3, b = 2, c = 5$.

   Rumus umumnya adalah: $\int \frac{1}{ax^2 + bx + c} \, dx = \frac{1}{\sqrt{a}} \arctan\left(\frac{2ax + b}{\sqrt{4ac - b^2}}\right) + C$

3. Substitusikan nilai $a, b, c$:

   • $a = 3, b = 2, c = 5$
   • Hitung diskriminan $4ac - b^2$: $4(3)(5) - 2^2 = 60 - 4 = 56$

4. Integral menjadi: $\int \frac{1}{3x^2 + 2x + 5} \, dx = \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{6x + 2}{\sqrt{56}}\right) + C$

Jawaban akhir: $\int \frac{1}{3x^2 + 2x + 5} \, dx = \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{6x + 2}{\sqrt{56}}\right) + C$

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada soal lain yang ingin diselesaikan?

---

5 Pertanyaan Terkait:

1. Bagaimana cara menyelesaikan pertidaksamaan dengan tanda “lebih dari atau sama dengan”?
2. Apa metode lain untuk menyelesaikan limit bentuk tak tentu?
3. Bagaimana rumus integral untuk fungsi kuadrat di penyebut?
4. Apa itu metode integral substitusi?
5. Bagaimana cara memfaktorkan polinomial orde tiga?

Tip: Jika menemukan bentuk tak tentu pada limit, cobalah mengalikan dengan bentuk sekawan atau gunakan aturan L'Hôpital.