Baik, berikut adalah penyelesaian soal integral tak tentu yang diberikan:

Penyelesaian:

1. $\int \left(1 - \frac{4}{x^5} + 3x^2 + \cos x \right) dx$:

   • Pecahkan menjadi beberapa integral: $\int 1 \, dx - \int \frac{4}{x^5} \, dx + \int 3x^2 \, dx + \int \cos x \, dx$ Hasilnya: $x + \frac{4}{4x^4} + x^3 + \sin x + C = x - \frac{4}{x^4} + x^3 + \sin x + C$

2. $\int \left(x^2 \sqrt{x^3} + 10 \right) dx$:

   • $\sqrt{x^3} = x^{3/2}$, maka: $\int x^2 x^{3/2} \, dx + \int 10 \, dx = \int x^{7/2} \, dx + 10x + C$ Hasil: $\frac{2}{9} x^{9/2} + 10x + C$

3. $\int \left(3x^{2/3} + x^{-3/4} \right) dx$:

   • Pecahkan integralnya: $\int 3x^{2/3} \, dx + \int x^{-3/4} \, dx$ Hasilnya: $\frac{9}{5} x^{5/3} + \frac{4}{1} x^{1/4} + C = \frac{9}{5} x^{5/3} + 4x^{1/4} + C$

4. $\int x \sin(x^2 + 2) \, dx$:

   • Substitusi $u = x^2 + 2$, maka $du = 2x \, dx$. $\frac{1}{2} \int \sin u \, du = -\frac{1}{2} \cos u + C$ Substitusi kembali: $-\frac{1}{2} \cos(x^2 + 2) + C$

5. $\int \frac{3x^2}{\sqrt{x^3 + 5}} \, dx$:

   • Substitusi $u = x^3 + 5$, maka $du = 3x^2 \, dx$. $\int \frac{1}{\sqrt{u}} \, du = 2\sqrt{u} + C$ Substitusi kembali: $2\sqrt{x^3 + 5} + C$

6. $\int \left(\frac{2}{7} - \frac{2}{x^5} + 2x \right) dx$:

   • Pecah menjadi beberapa integral: $\frac{2}{7}x - \frac{2}{-4x^4} + x^2 + C = \frac{2}{7}x + \frac{2}{4x^4} + x^2 + C$

7. $\int x^3 \sqrt{x^4 + 1} \, dx$:

   • Substitusi $u = x^4 + 1$, maka $du = 4x^3 \, dx$. $\frac{1}{4} \int u^{1/2} \, du = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C$ Substitusi kembali: $\frac{1}{6} (x^4 + 1)^{3/2} + C$

8. $\int \frac{t\sqrt{t} + \sqrt{t}}{t^2} \, dt$:

   • Pecahkan: $\int \frac{\sqrt{t}}{t} \, dt + \int \frac{\sqrt{t}}{t^2} \, dt = \int t^{-1/2} \, dt + \int t^{-3/2} \, dt$ Hasilnya: $2t^{1/2} - 2t^{-1/2} + C = 2\sqrt{t} - \frac{2}{\sqrt{t}} + C$

9. $\int \frac{2}{5} \sec \theta \tan \theta \, d\theta$:

   • Gunakan $\int \sec \theta \tan \theta \, d\theta = \sec \theta + C$: $\frac{2}{5} \sec \theta + C$

10. $\int \cos \theta (\tan \theta + \sec \theta) \, d\theta$:

    • Pecah: $\int \cos \theta \tan \theta \, d\theta + \int \cos \theta \sec \theta \, d\theta$ Sederhanakan: $\int \sin \theta \, d\theta + \int 1 \, d\theta = -\cos \theta + \theta + C$

Ada pertanyaan atau butuh detail lebih lanjut?

Berikut 5 pertanyaan untuk memperdalam:

1. Apakah ada langkah-langkah tertentu yang perlu dijelaskan lebih rinci?
2. Ingin fokus pada penyelesaian integral tertentu saja?
3. Apakah Anda ingin grafik hasil dari fungsi integral ini?
4. Butuh penjelasan tentang metode substitusi pada soal 4 dan 5?
5. Ingin tahu aplikasi praktis dari salah satu integral ini?

Tip: Saat menghadapi integral kompleks, gunakan metode substitusi atau parsial untuk mempermudah proses.