Berikut ini adalah beberapa contoh soal matematika dan penyelesaiannya di berbagai topik. Saya akan memberikan beberapa soal dari berbagai tingkat kesulitan, mulai dari dasar hingga menengah.

1. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan

Soal: Hitunglah hasil dari $\frac{3}{4} + \frac{5}{6}$.

Penyelesaian: Untuk menjumlahkan pecahan, kita perlu menyamakan penyebutnya terlebih dahulu. Cari Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari 4 dan 6, yaitu 12.

$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}, \quad \frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12}$

Kemudian, jumlahkan kedua pecahan:

$\frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{19}{12} = 1 \frac{7}{12}$

Jawaban: $1 \frac{7}{12}$.

---

2. Persamaan Linear Satu Variabel

Soal: Selesaikan persamaan berikut: $3x - 5 = 16$.

Penyelesaian: Langkah-langkah penyelesaiannya sebagai berikut:

1. Tambahkan 5 pada kedua sisi: $3x - 5 + 5 = 16 + 5 \implies 3x = 21$
2. Bagi kedua sisi dengan 3: $\frac{3x}{3} = \frac{21}{3} \implies x = 7$

Jawaban: $x = 7$.

---

3. Faktorisasi Kuadrat

Soal: Faktorkan persamaan kuadrat $x^2 - 5x + 6$.

Penyelesaian: Kita mencari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya 6 dan jika dijumlahkan hasilnya -5. Bilangan tersebut adalah -2 dan -3. Maka persamaan tersebut dapat difaktorkan menjadi:

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

Jawaban: $(x - 2)(x - 3)$.

---

4. Limit Fungsi

Soal: Hitunglah limit berikut $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$.

Penyelesaian: Pertama-tama, coba substitusi langsung $x = 2$ ke fungsi: $\frac{(2)^2 - 4}{2 - 2} = \frac{4 - 4}{0} = \frac{0}{0}$ Ini bentuk tidak tentu, sehingga kita harus melakukan faktorisasi dan penyederhanaan.

Faktorkan $x^2 - 4$ menjadi $(x - 2)(x + 2)$, sehingga persamaannya menjadi:

$\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}$

Sederhanakan $(x - 2)$, maka kita dapatkan:

$\lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4$

Jawaban: 4.

---

5. Integral Sederhana

Soal: Hitunglah $\int (3x^2 + 2x) \, dx$.

Penyelesaian: Kita dapat menghitung integral dari setiap suku secara terpisah:

$\int 3x^2 \, dx = \frac{3}{3}x^3 = x^3, \quad \int 2x \, dx = \frac{2}{2}x^2 = x^2$

Sehingga hasil akhirnya adalah:

$x^3 + x^2 + C$

Jawaban: $x^3 + x^2 + C$, di mana $C$ adalah konstanta integrasi.

---

Jika Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan, saya siap membantu. Berikut beberapa soal lain yang terkait dengan konsep di atas:

1. Hitung hasil dari $\frac{7}{9} - \frac{4}{5}$.
2. Selesaikan persamaan $5x + 3 = 28$.
3. Faktorkan persamaan kuadrat $x^2 - 8x + 15$.
4. Hitung $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$.
5. Temukan turunan dari $f(x) = 4x^3 + 5x^2$.

Tip: Selalu cek hasil faktorisasi atau substitusi langsung saat menghitung limit untuk menghindari kesalahan perhitungan.