Math Problem Statement
kan du svare på denne opgave?
Solution
Ja, jeg kan hjælpe dig med denne opgave! Lad os tage hvert delspørgsmål ét ad gangen:
Givet:
En ret linje er defineret ved parameterfremstillingen:
\begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}.$$ ### a) Beskriv linjen $$l$$ ved et punkt og en retningsvektor. Linjen $$l$$ er givet ved: - **Et punkt på linjen:** $$\begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}$$, som er startpunktet eller origo for parameterfremstillingen. - **Retningsvektor:** $$\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$$, som angiver linjens retning. Altså, linjen $$l$$ kan beskrives som en linje, der går gennem punktet $$(5, -3)$$ og har en retningsvektor $$(3, 1)$$. --- ### b) Bestem koordinatsættet for punktet på linjen $$l$$, når parameterværdien er $$t = 9$$. Vi indsætter $$t = 9$$ i parameterfremstillingen: $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix} + 9 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}.$$ Udregning: $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 27 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 + 27 \\ -3 + 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 32 \\ 6 \end{pmatrix}.$$ Koordinatsættet for punktet er altså: $$(32, 6).$$ --- ### c) Tegn linjen $$l$$ i et koordinatsystem. For at tegne linjen $$l$$ i et koordinatsystem: 1. Marker punktet $$(5, -3)$$, som linjen går igennem. 2. Brug retningsvektoren $$(3, 1)$$ til at finde flere punkter på linjen: - Fra $$(5, -3)$$ tilføj $$(3, 1)$$ for at få $$(8, -2)$$. - Fra $$(8, -2)$$ tilføj igen $$(3, 1)$$ for at få $$(11, -1)$$. 3. Tegn en linje gennem disse punkter. Vil du have en grafisk repræsentation af linjen? --- ### Opsummering: - **a)** Punkt: $$(5, -3)$$, Retningsvektor: $$(3, 1)$$. - **b)** Når $$t = 9$$, er koordinaterne $$(32, 6)$$. - **c)** Linjen tegnes gennem $$(5, -3)$$ med hældning bestemt af $$(3, 1)$$. --- Har du spørgsmål eller ønsker uddybning? 😊 --- ### 5 Relaterede Spørgsmål: 1. Hvordan bestemmes skæringspunktet mellem to parameterfremstillede linjer? 2. Hvad er ligningen for linjen $$l$$ i standardform ($$ax + by + c = 0$$)? 3. Hvordan beregnes afstanden fra et punkt til en linje? 4. Hvad sker der med linjen, hvis retningsvektoren ændres? 5. Kan du finde skæringspunktet mellem linjen $$l$$ og x- eller y-aksen? ### Tip: For parameterfremstillinger er det altid nyttigt at kende både et punkt på linjen og retningsvektoren for hurtigt at lave udregninger og skitser!Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Parametric Representation of a Line
Vectors in 2D Geometry
Linear Equations
Formulas
Parametric equation of a line: (x, y) = (x0, y0) + t * (vx, vy)
Vector addition
Theorems
Basic vector addition and scalar multiplication
Suitable Grade Level
Grades 10-12
Related Recommendation
Find Parametric Equations of a Line Passing Through Two Points
Parametric Equation of a Line Segment Between Points A(0,0,0) and B(1,1,1)
Determining a Line in 3D Space Using Points and Vectors
Parametric Equation of a Line through Points A(2,5,-4) and B(-2,2,-6)
Parametric and Symmetric Equations of a Line Through Points (-1, 4, -3) and (4, 2, -1)