https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1725371266959f5hl1c7v.jpg

можешь мне  объяснить откуда взялись 1 и x^(n+1) в последней сумме?

Давайте разберемся с выражением.

Исходное выражение:

\[
(1 + x)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k x^k
\]

При умножении на \(1 + x\), получаем:

\[
(1 + x)^{n+1} = (1 + x) \sum_{k=0}^n C_n^k x^k
\]

Теперь раскрываем скобки:

\[
(1 + x) \sum_{k=0}^n C_n^k x^k = \sum_{k=0}^n C_n^k x^k + \sum_{k=0}^n C_n^k x^{k+1}
\]

Перепишем это выражение, начав с разложения первой суммы и второй суммы:

1. Первая сумма: \(\sum_{k=0}^n C_n^k x^k\)
2. Вторая сумма: \(\sum_{k=0}^n C_n^k x^{k+1}\)

Если рассмотреть первую сумму, мы можем заметить, что это просто выражение для \((1 + x)^n\), как указано выше.

Вторая сумма сдвигает индексы на одну позицию вверх. Если мы проанализируем пределы второй суммы, то:

- При \( k = 0 \), \(x^{k+1} = x\), а коэффициент — это \( C_n^0 \times x \).
- При \( k = n \), \(x^{k+1} = x^{n+1}\), а коэффициент — это \( C_n^n \times x^{n+1} \).

Таким образом, последняя сумма может быть записана как:

\[
\sum_{k=1}^{n+1} C_n^{k-1} x^k = C_n^0 x + C_n^1 x^2 + \ldots + C_n^n x^{n+1}
\]

Объединяя оба выражения:

\[
(1 + x)^{n+1} = C_n^0 + \sum_{k=1}^n (C_n^k + C_n^{k-1}) x^k + x^{n+1}
\]

1 возникает из первого члена суммы \(C_n^0\), который равен 1. Член \(x^{n+1}\) появляется из-за последнего элемента второй суммы.

Если что-то еще не ясно или если вы хотите углубиться, сообщите!

### Вопросы для размышления:
1. Каково значение биномиальных коэффициентов \(C_n^k\)?
2. Что такое разложение бинома Ньютона?
3. Как изменится выражение при других значениях \(n\)?
4. Какое значение имеет x в общем решении?
5. Почему сумма начинается с \(k = 0\) и заканчивается на \(n\)?

### Советы:
Всегда полезно прорешивать примеры для небольших значений \(n\) (например, \(n = 2\) или \(n = 3\)), чтобы лучше понять общие формулы и процессы.

можешь мне объяснить откуда взялись 1 и x^(n+1) в последней сумме?

Explore how the terms 1 and x^(n+1) arise in the binomial expansion when multiplying (1 + x)^n by (1 + x). The solution delves into the binomial theorem, shifting indices, and how the final expression is constructed.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation