considera i tre angoli seguenti: α la cui misura in radianti è 2e; β la cui misura è 70°; γ la cui misura in radianti è π^2. Disponi in ordine crescente, ciascuna delle seguenti terne di numeri giustificando adeguatamente la risposta:

a. sin α, sin β, sin γ

b. cos α, cos β, cos γ

Per risolvere questo problema, dobbiamo prima convertire tutti gli angoli nella stessa unità (radianti o gradi) e poi calcolare i valori di \(\sin\) e \(\cos\) per ogni angolo. 

### a. Ordinare \(\sin \alpha\), \(\sin \beta\), \(\sin \gamma\)

#### 1. Calcolo di \(\sin \alpha\):

L'angolo \(\alpha\) è dato in radianti come \(2e\).

\[ 2e \approx 2 \times 2.718 = 5.436 \text{ radianti} \]

Sappiamo che \(\sin(2e) \approx \sin(5.436)\).

Dato che \(5.436\) radianti è maggiore di \(\pi\) (circa 3.1416 radianti) ma inferiore a \(2\pi\), \(\sin(5.436)\) sarà negativo e possiamo usare la relazione approssimativa:

\[ \sin(5.436) \approx \sin(2\pi - 0.847) = -\sin(0.847) \approx -0.75 \]

#### 2. Calcolo di \(\sin \beta\):

L'angolo \(\beta\) è dato in gradi come \(70^\circ\). Convertiamolo in radianti:

\[ \beta = \frac{70\pi}{180} \approx 1.222 \text{ radianti} \]

Ora calcoliamo:

\[ \sin(70^\circ) \approx 0.9397 \]

#### 3. Calcolo di \(\sin \gamma\):

L'angolo \(\gamma\) è dato in radianti come \(\pi^2\):

\[ \pi^2 \approx 9.87 \text{ radianti} \]

Dato che \(9.87\) è maggiore di \(2\pi\), sottraiamo \(2\pi\) fino a ottenere un valore compreso tra 0 e \(2\pi\):

\[ 9.87 - 2\pi \approx 3.604 \text{ radianti} \]

Per questo angolo:

\[ \sin(9.87) \approx \sin(3.604) \approx -0.4456 \]

#### Ordine crescente di \(\sin \alpha\), \(\sin \beta\), \(\sin \gamma\):

\[
\sin \gamma \approx -0.4456, \quad \sin \alpha \approx -0.75, \quad \sin \beta \approx 0.9397
\]

L'ordine crescente sarà:

\[
\sin \alpha < \sin \gamma < \sin \beta
\]

### b. Ordinare \(\cos \alpha\), \(\cos \beta\), \(\cos \gamma\)

#### 1. Calcolo di \(\cos \alpha\):

Usiamo nuovamente \( \alpha = 2e \):

\[ \cos(2e) \approx \cos(5.436) \]

Dato che \(5.436\) è vicino a \(3\pi/2\):

\[ \cos(5.436) \approx \cos(2\pi - 0.847) = \cos(0.847) \approx 0.6603 \]

#### 2. Calcolo di \(\cos \beta\):

Per \(\beta = 70^\circ\):

\[ \cos(70^\circ) \approx 0.3420 \]

#### 3. Calcolo di \(\cos \gamma\):

Per \(\gamma = \pi^2\):

\[ \cos(9.87) \approx \cos(3.604) \approx -0.8958 \]

#### Ordine crescente di \(\cos \alpha\), \(\cos \beta\), \(\cos \gamma\):

\[
\cos \gamma \approx -0.8958, \quad \cos \beta \approx 0.3420, \quad \cos \alpha \approx 0.6603
\]

L'ordine crescente sarà:

\[
\cos \gamma < \cos \beta < \cos \alpha
\]

---

Vuoi dettagli su qualche parte del calcolo? 

Ecco 5 domande relative:
1. Come si convertono angoli da gradi a radianti?
2. Qual è la relazione tra il seno e il coseno di un angolo?
3. Come si approssima il valore di funzioni trigonometriche per angoli non standard?
4. Cosa rappresentano i valori negativi del seno e del coseno?
5. Quali sono le caratteristiche principali delle funzioni seno e coseno?

**Tip:** Ricorda che per angoli superiori a \(2\pi\) radianti, puoi sottrarre \(2\pi\) per ottenere un angolo equivalente ma compreso tra \(0\) e \(2\pi\).

Learn how to order sine and cosine values for angles α, β, and γ given in radians and degrees. This problem involves converting angles, calculating trigonometric functions, and ordering results. Suitable for high school students studying trigonometry.

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