Este es un problema clásico de optimización que se resuelve aplicando derivadas. Te proporcionaré una solución paso a paso:

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1. Definir las variables:

• $x$: longitud del lado de la base cuadrada (en cm).
• $h$: altura de la caja (en cm).

La caja tiene una base cuadrada, y la parte superior está abierta.

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2. Restricción del volumen:

El volumen de la caja es $V = x^2 h$, y sabemos que $V = 50 \, \text{cm}^3$: $x^2 h = 50 \implies h = \frac{50}{x^2}.$

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3. Función objetivo:

Queremos minimizar la cantidad de material usado, que equivale al área total de las superficies.

• La base cuadrada tiene un área de $x^2$.
• Las cuatro paredes laterales tienen un área total de $4(xh)$.

El área total, $A$, es: $A(x, h) = x^2 + 4(xh).$

Sustituimos $h$ por $\frac{50}{x^2}$ en la función del área: $A(x) = x^2 + 4x \left(\frac{50}{x^2}\right).$

Simplificamos: $A(x) = x^2 + \frac{200}{x}.$

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4. Optimización:

Derivamos $A(x)$ con respecto a $x$ para encontrar los puntos críticos: $A'(x) = 2x - \frac{200}{x^2}.$

Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $2x - \frac{200}{x^2} = 0.$

Reorganizamos: $2x = \frac{200}{x^2}.$

Multiplicamos por $x^2$ para eliminar el denominador: $2x^3 = 200.$

Dividimos entre 2: $x^3 = 100.$

Tomamos la raíz cúbica: $x = \sqrt[3]{100}.$

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5. Cálculo de $h$:

Usamos la relación $h = \frac{50}{x^2}$: $h = \frac{50}{(\sqrt[3]{100})^2}.$

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6. Verificar si es un mínimo:

La derivada segunda es: $A''(x) = 2 + \frac{400}{x^3}.$

Para $x > 0$, $A''(x) > 0$, lo que confirma un mínimo global.

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Dimensiones finales:

1. Lado de la base: $x = \sqrt[3]{100} \, \text{cm}$.
2. Altura: $h = \frac{50}{(\sqrt[3]{100})^2} \, \text{cm}$.

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¿Te gustaría más detalles o ayuda para realizar los cálculos numéricos? 😊

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Preguntas Relacionadas:

1. ¿Qué representa el criterio de la segunda derivada en este problema?
2. ¿Cómo se calcula la raíz cúbica sin calculadora?
3. ¿Qué sucede si se incluye la tapa en la función objetivo?
4. ¿Podría haber restricciones adicionales que cambien la solución?
5. ¿Cómo se interpreta físicamente el área mínima?

Tip:

Para problemas de optimización, siempre revisa las unidades y asegúrate de que las restricciones estén correctamente aplicadas antes de derivar.