Чтобы найти оптимальный выбор при заданной функции полезности $U(x, y) = 5x + 3y$, бюджете и ценах, решаем следующую задачу линейного программирования:

Бюджетное ограничение: $40x + 20y \leq 200$

Функция полезности (максимизируемая): $U(x, y) = 5x + 3y$

Шаг 1: Выразим бюджетное ограничение

Сначала упростим бюджетное ограничение: $2x + y \leq 10$

Шаг 2: Определим целевую функцию

Функция полезности максимизируется на границе допустимой области, поэтому проверим, где $2x + y = 10$.

Шаг 3: Решим систему

Рассмотрим угловые точки допустимой области:

1. $x = 0, y = 10$: $U(0, 10) = 5(0) + 3(10) = 30$
2. $y = 0, x = 5$: $U(5, 0) = 5(5) + 3(0) = 25$
3. $2x + y = 10$: Подставим $y = 10 - 2x$ в функцию полезности: $U(x, y) = 5x + 3(10 - 2x) = 5x + 30 - 6x = -x + 30$ Оптимальное значение $x = 0$, при котором $y = 10$, уже учтено в первой точке.

Шаг 4: Оптимальное решение

Максимальное значение функции полезности достигается в точке $x = 0, y = 10$.

Ответ:

$\boxed{010}$

Если есть вопросы или нужно подробнее разобрать решение, дайте знать!

Дополнительные вопросы:

1. Как повлияет изменение цен $p_x$ и $p_y$ на оптимальный выбор?
2. Что произойдет, если бюджет увеличится до 300?
3. Какую интерпретацию имеет функция полезности $U(x, y)$?
4. Какие еще методы могут быть использованы для нахождения оптимума?
5. Что если цены поменяются местами ($p_x = 20$, $p_y = 40$)?

Совет: Всегда проверяйте выполнение всех ограничений для найденного решения!