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### 解答

题目涉及一个概率和期望值的问题，关于小明在玩打地鼠游戏时的策略选择。我们需要根据给定条件，计算出最优策略和期望值。

#### (1) 解答

假设小明在游戏进行到某一时刻，打击落某一架敌机后可以获得1.5分，如果主动结束游戏，他的积分保持不变。

为了最大化游戏结束时的累计积分的数学期望，小明需要计算每一轮是否继续游戏的期望值。

设当前积分为\( S \)，敌机出现的概率为 \( 0.85 \)，小明被击落的概率为 \( 0.15 \)。

如果小明击落第 \( n \) 架敌机后主动结束游戏，期望积分如下：

\[
E = S + 1.5 \cdot n
\]

我们需要比较小明继续游戏和主动结束游戏的期望值。

1. 继续游戏的期望值 \( E_c \)：

\[
E_c = 0.85 \cdot (S + 1.5) + 0.15 \cdot 0 = 0.85 \cdot (S + 1.5)
\]

2. 主动结束游戏的期望值 \( E_a \)：

\[
E_a = S
\]

小明会选择继续游戏直到：

\[
0.85 \cdot (S + 1.5) \leq S
\]

即：

\[
0.85S + 1.275 \leq S
\]

解得：

\[
1.275 \leq 0.15S
\]

\[
S \geq \frac{1.275}{0.15} = 8.5
\]

所以，小明会选择在击落第 \( n \) 架敌机时主动结束游戏，这里 \( S \geq 8.5 \)。

我们可以通过计算得到，当 \( S \) 为整数时，最优策略为击落第4架敌机后主动结束游戏：

\[
(A) 1 \\
(B) 2 \\
(C) 3 \\
(D) 4
\]

答案：**(D) 4**

#### (2) 解答

假设小明在游戏中被击落，其之前累积的积分会清零。那么为了游戏结束时的期望积分最大化，小明也会选择一个最优的时间主动结束游戏。

设主动结束游戏时的期望积分为 \( E_a \)，继续游戏的期望积分为 \( E_c \)，积分清零时的期望积分为 \( E_z = 0 \)。

我们需要找到使得期望积分最大的最优选择。

1. 主动结束游戏的期望积分：

\[
E_a = 0
\]

2. 继续游戏的期望积分：

\[
E_c = 0.85 \cdot (S + 1.5) + 0.15 \cdot 0 = 0.85 \cdot (S + 1.5)
\]

小明会选择继续游戏直到：

\[
0.85 \cdot (S + 1.5) \leq 0
\]

显然 \( S = 0 \) 时：

当 \( S = 0 \) 时，游戏主动结束的期望积分也为0。

此时，小明应选择在被击落前，尽可能击落更多敌机，然后主动结束游戏。

根据上述条件，如果小明击落第 \( n \) 架敌机后主动结束游戏：

\[
\text{期望积分} = 1.5 \cdot n
\]

需要选择一个最接近期望积分的选项：

\[
(A) 2 \\
(B) 4 \\
(C) 6 \\
(D) 8
\]

在击落最多敌机情况下，小明的期望积分接近于 \( 1.5 \cdot 4 = 6 \)，故选择：

答案：**(C) 6**

### 总结

小明应在击落第4架敌机后主动结束游戏，同时在被击落前尽可能多击落敌机以获得最大期望积分。

有任何疑问或需要更详细的解释吗？下面是一些您可以进一步探讨的问题：

1. 如何计算小明每次击落敌机的最优选择？
2. 期望值在概率论中的应用有哪些？
3. 概率游戏中的策略选择原则是什么？
4. 如何在不同的积分规则下调整策略？
5. 是否有其他概率模型可以用于类似的游戏策略分析？

**提示**: 在解决概率问题时，明确事件的概率分布和期望值计算是关键。

Explore optimal decision-making strategies in probability and expectation problems. This problem involves calculating the expected values in a game theory scenario where a player decides when to end the game to maximize their score. It covers concepts such as probability distributions, expected values, and decision theory principles.

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