Mit einem fairen Würfel wird folgendes Glücksspiel mit dem Einsatz 7 Euro angeboten: Für die gewürfelte Augenzahl beim einmaligen Wurf erhält der Spieler folgende Beträge (in Euro) ausgezahlt:
Augenzahl 
1 =0€
2 =5€
3 =3€
4 =4€
5 =3€
6 =x

Wie muss die Auszahlung x (in Euro) gewählt werden, damit das Spiel fair ist? 




Um zu bestimmen, wie die Auszahlung \(x\) (in Euro) gewählt werden muss, damit das Spiel fair ist, müssen wir den Erwartungswert des Gewinns berechnen und diesen gleich dem Einsatz von 7 Euro setzen.

### Berechnung des Erwartungswerts

Die Auszahlung für jede Augenzahl beim Würfeln eines fairen Würfels ist gegeben. Die Wahrscheinlichkeiten für jede Augenzahl sind gleich, also \( \frac{1}{6} \).

Die Auszahlungen für die Augenzahlen sind:
- \(1 \to 0 \, \text{Euro}\)
- \(2 \to 5 \, \text{Euro}\)
- \(3 \to 3 \, \text{Euro}\)
- \(4 \to 4 \, \text{Euro}\)
- \(5 \to 3 \, \text{Euro}\)
- \(6 \to x \, \text{Euro}\)

Der Erwartungswert \(E(G)\) des Spiels ist:

\[
E(G) = \frac{1}{6} \left(0 + 5 + 3 + 4 + 3 + x \right)
\]

Damit das Spiel fair ist, muss der Erwartungswert des Gewinns gleich dem Einsatz von 7 Euro sein:

\[
E(G) = 7
\]

Nun setzen wir diese Gleichung an und lösen für \(x\).

Mit einem fairen Würfel wird folgendes Glücksspiel mit dem Einsatz 7 Euro angeboten: Für die gewürfelte Augenzahl beim einmaligen Wurf erhält der Spieler folgende Beträge (in Euro) ausgezahlt: Augenzahl 1 = 0€ 2 = 5€ 3 = 3€ 4 = 4€ 5 = 3€ 6 = x. Wie muss die Auszahlung x (in Euro) gewählt werden, damit das Spiel fair ist?

Learn how to calculate the fair payout for a dice game by using expected value. This problem involves key concepts such as probability and fairness in games. Suitable for students in Grades 10-12, the solution uses the expected value theorem to find the unknown payout.

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