Um zu bestimmen, wie die Auszahlung $x$ (in Euro) gewählt werden muss, damit das Spiel fair ist, müssen wir den Erwartungswert des Gewinns berechnen und diesen gleich dem Einsatz von 7 Euro setzen.

Berechnung des Erwartungswerts

Die Auszahlung für jede Augenzahl beim Würfeln eines fairen Würfels ist gegeben. Die Wahrscheinlichkeiten für jede Augenzahl sind gleich, also $\frac{1}{6}$.

Die Auszahlungen für die Augenzahlen sind:

• $1 \to 0 \, \text{Euro}$
• $2 \to 5 \, \text{Euro}$
• $3 \to 3 \, \text{Euro}$
• $4 \to 4 \, \text{Euro}$
• $5 \to 3 \, \text{Euro}$
• $6 \to x \, \text{Euro}$

Der Erwartungswert $E(G)$ des Spiels ist:

$E(G) = \frac{1}{6} \left(0 + 5 + 3 + 4 + 3 + x \right)$

Damit das Spiel fair ist, muss der Erwartungswert des Gewinns gleich dem Einsatz von 7 Euro sein:

$E(G) = 7$

Nun setzen wir diese Gleichung an und lösen für $x$.