1. Diketahui kumpulan data sebagai berikut :
x 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8
f(x) 1,00 1,58 2,32 3,24 4,35 5,66 7,18 7,38 7,58 7,78
Dengan Metode Simpson 3/8, Tentukan ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 2,8
1,0
dan misalkan fungsi exactnya 𝑦 =
𝑓(𝑥) = 𝑥
2
. √𝑥 , tentukan galatnya!

### Penyelesaian Soal dengan Metode Simpson 3/8

Untuk menyelesaikan integral \(\int_{1.0}^{2.8} f(x) dx\) menggunakan **Metode Simpson 3/8**, kita perlu memastikan bahwa jumlah subinterval (\(n\)) sesuai dengan aturan metode ini, yaitu kelipatan 3.

#### Data yang Diketahui:
- Nilai \(x\) = \(1.0, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2.0, 2.2, 2.4, 2.6, 2.8\)
- Nilai \(f(x)\) = \(1.00, 1.58, 2.32, 3.24, 4.35, 5.66, 7.18, 7.38, 7.58, 7.78\)
- Batas integral: \(a = 1.0\), \(b = 2.8\)
- Panjang interval: \(\Delta x = \frac{b - a}{n}\), dengan \(n = 9\), sehingga \(\Delta x = \frac{2.8 - 1.0}{9} = 0.2\).

**Rumus Simpson 3/8:**
\[
\int_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{3\Delta x}{8} \left[ f(x_0) + 3 \sum_{ganjil} f(x_i) + 3 \sum_{kelipatan 3} f(x_i) + 2 \sum_{genap} f(x_i) + f(x_n) \right]
\]

#### Langkah-langkah:
1. **Subintervals:** \(\Delta x = 0.2\), sehingga nilai \(x_i\) dibagi menjadi subinterval yang sesuai.
2. **Fungsi di Titik-titik:**
   - \(f(x_0) = f(1.0) = 1.00\)
   - \(f(x_1) = f(1.2) = 1.58\)
   - \(f(x_2) = f(1.4) = 2.32\)
   - \(f(x_3) = f(1.6) = 3.24\)
   - \(f(x_4) = f(1.8) = 4.35\)
   - \(f(x_5) = f(2.0) = 5.66\)
   - \(f(x_6) = f(2.2) = 7.18\)
   - \(f(x_7) = f(2.4) = 7.38\)
   - \(f(x_8) = f(2.6) = 7.58\)
   - \(f(x_9) = f(2.8) = 7.78\)

3. **Penentuan Hasil Simpson 3/8:**
   - \(f(x_0) = 1.00\)
   - Kelipatan 3 (\(x_3, x_6, x_9\)): \(3.24 + 7.18 + 7.78 = 18.20\)
   - Ganjil (\(x_1, x_4, x_7\)): \(1.58 + 4.35 + 7.38 = 13.31\)
   - Genap (\(x_2, x_5, x_8\)): \(2.32 + 5.66 + 7.58 = 15.56\)

\[
\int_{1.0}^{2.8} f(x) dx \approx \frac{3 \times 0.2}{8} \times \left[1.00 + 3(13.31) + 2(15.56) + 18.20\right]
\]
\[
\int_{1.0}^{2.8} f(x) dx \approx \frac{0.6}{8} \times (1.00 + 39.93 + 31.12 + 18.20)
\]
\[
\int_{1.0}^{2.8} f(x) dx \approx 0.075 \times 90.25 = 6.76875
\]

### Galat
Fungsi eksak diberikan sebagai \(f(x) = x^2 \sqrt{x}\).

- Fungsi eksak: \(f(x) = x^2 \sqrt{x} = x^{5/2}\)
- Integral eksak:
  \[
  \int_{1.0}^{2.8} x^{5/2} dx = \left[\frac{2}{7} x^{7/2} \right]_{1.0}^{2.8}
  \]
  \[
  = \frac{2}{7} \left[(2.8)^{7/2} - (1.0)^{7/2}\right]
  \]

Mari kita hitung hasil integral eksak dan galat dari hasil metode Simpson 3/8.### Hasil Perhitungan:
1. **Nilai Integral Eksak**: \(\int_{1.0}^{2.8} x^{5/2} dx = 10.2093\)
2. **Nilai Integral dengan Metode Simpson 3/8**: \(6.76875\)
3. **Galat (Error)**: \(3.4406\)

Dengan demikian, metode Simpson 3/8 menghasilkan nilai yang cukup akurat, namun galatnya relatif besar, yaitu sekitar 3.44.

Apakah ada pertanyaan lebih lanjut, atau ingin penjelasan lebih detail?

Berikut 5 pertanyaan terkait:
1. Bagaimana metode Simpson 1/3 dibandingkan dengan metode Simpson 3/8?
2. Apa perbedaan antara metode numerik lainnya seperti metode trapezoidal dengan metode Simpson?
3. Mengapa penting menghitung galat dalam metode numerik?
4. Apakah metode Simpson 3/8 selalu lebih akurat daripada Simpson 1/3?
5. Bagaimana cara meningkatkan akurasi perhitungan integral numerik?

**Tip**: Dalam metode Simpson, semakin kecil ukuran interval (\(\Delta x\)), hasil yang didapatkan akan semakin akurat karena pendekatan polinomial yang lebih sesuai dengan bentuk fungsi.

Diketahui kumpulan data sebagai berikut: x = [1.0, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2.0, 2.2, 2.4, 2.6, 2.8], f(x) = [1.00, 1.58, 2.32, 3.24, 4.35, 5.66, 7.18, 7.38, 7.58, 7.78]. Dengan Metode Simpson 3/8, Tentukan ∫ f(x) dx dari 1.0 sampai 2.8. Dan misalkan fungsi exactnya f(x) = x^2 * sqrt(x), tentukan galatnya!

This solution explores numerical integration using Simpson's 3/8 rule on a given dataset, f(x), and compares it with the exact function f(x) = x^2 * sqrt(x). Detailed error calculation and a step-by-step guide to solving the integral ∫ f(x) dx from 1.0 to 2.8. Suitable for students at the undergraduate level or advanced high school courses.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation