Penyelesaian Soal dengan Metode Simpson 3/8

Untuk menyelesaikan integral $\int_{1.0}^{2.8} f(x) dx$ menggunakan Metode Simpson 3/8, kita perlu memastikan bahwa jumlah subinterval ($n$) sesuai dengan aturan metode ini, yaitu kelipatan 3.

Data yang Diketahui:

• Nilai $x$ = $1.0, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2.0, 2.2, 2.4, 2.6, 2.8$
• Nilai $f(x)$ = $1.00, 1.58, 2.32, 3.24, 4.35, 5.66, 7.18, 7.38, 7.58, 7.78$
• Batas integral: $a = 1.0$, $b = 2.8$
• Panjang interval: $\Delta x = \frac{b - a}{n}$, dengan $n = 9$, sehingga $\Delta x = \frac{2.8 - 1.0}{9} = 0.2$.

Rumus Simpson 3/8: $\int_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{3\Delta x}{8} \left[ f(x_0) + 3 \sum_{ganjil} f(x_i) + 3 \sum_{kelipatan 3} f(x_i) + 2 \sum_{genap} f(x_i) + f(x_n) \right]$

Langkah-langkah:

1. Subintervals: $\Delta x = 0.2$, sehingga nilai $x_i$ dibagi menjadi subinterval yang sesuai.

2. Fungsi di Titik-titik:

   • $f(x_0) = f(1.0) = 1.00$
   • $f(x_1) = f(1.2) = 1.58$
   • $f(x_2) = f(1.4) = 2.32$
   • $f(x_3) = f(1.6) = 3.24$
   • $f(x_4) = f(1.8) = 4.35$
   • $f(x_5) = f(2.0) = 5.66$
   • $f(x_6) = f(2.2) = 7.18$
   • $f(x_7) = f(2.4) = 7.38$
   • $f(x_8) = f(2.6) = 7.58$
   • $f(x_9) = f(2.8) = 7.78$

3. Penentuan Hasil Simpson 3/8:

   • $f(x_0) = 1.00$
   • Kelipatan 3 ($x_3, x_6, x_9$): $3.24 + 7.18 + 7.78 = 18.20$
   • Ganjil ($x_1, x_4, x_7$): $1.58 + 4.35 + 7.38 = 13.31$
   • Genap ($x_2, x_5, x_8$): $2.32 + 5.66 + 7.58 = 15.56$

$\int_{1.0}^{2.8} f(x) dx \approx \frac{3 \times 0.2}{8} \times \left[1.00 + 3(13.31) + 2(15.56) + 18.20\right]$ $\int_{1.0}^{2.8} f(x) dx \approx \frac{0.6}{8} \times (1.00 + 39.93 + 31.12 + 18.20)$ $\int_{1.0}^{2.8} f(x) dx \approx 0.075 \times 90.25 = 6.76875$

Galat

Fungsi eksak diberikan sebagai $f(x) = x^2 \sqrt{x}$.

• Fungsi eksak: $f(x) = x^2 \sqrt{x} = x^{5/2}$
• Integral eksak: $\int_{1.0}^{2.8} x^{5/2} dx = \left[\frac{2}{7} x^{7/2} \right]_{1.0}^{2.8}$ $= \frac{2}{7} \left[(2.8)^{7/2} - (1.0)^{7/2}\right]$

Mari kita hitung hasil integral eksak dan galat dari hasil metode Simpson 3/8.### Hasil Perhitungan:

1. Nilai Integral Eksak: $\int_{1.0}^{2.8} x^{5/2} dx = 10.2093$
2. Nilai Integral dengan Metode Simpson 3/8: $6.76875$
3. Galat (Error): $3.4406$

Dengan demikian, metode Simpson 3/8 menghasilkan nilai yang cukup akurat, namun galatnya relatif besar, yaitu sekitar 3.44.

Apakah ada pertanyaan lebih lanjut, atau ingin penjelasan lebih detail?

Berikut 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana metode Simpson 1/3 dibandingkan dengan metode Simpson 3/8?
2. Apa perbedaan antara metode numerik lainnya seperti metode trapezoidal dengan metode Simpson?
3. Mengapa penting menghitung galat dalam metode numerik?
4. Apakah metode Simpson 3/8 selalu lebih akurat daripada Simpson 1/3?
5. Bagaimana cara meningkatkan akurasi perhitungan integral numerik?

Tip: Dalam metode Simpson, semakin kecil ukuran interval ($\Delta x$), hasil yang didapatkan akan semakin akurat karena pendekatan polinomial yang lebih sesuai dengan bentuk fungsi.