El problema trata sobre la Regla de Simpson 3/8 para aproximar el área bajo la curva de la función $f(x) = \frac{4}{x}$ en un intervalo dado. El área sombreada tiene un límite inferior de $\frac{1}{6}$. Se nos pide calcular la aproximación usando la partición con $n = 9$.

Paso 1: Fórmula de la regla de Simpson 3/8

La fórmula general es:

$\int_a^b f(x) dx \approx \frac{3 \Delta x}{8} \left[ f(x_0) + 3 \sum_{i=1, i \, \text{impar}}^{n-1} f(x_i) + 3 \sum_{i=2, i \, \text{par}}^{n-2} f(x_i) + 2 \sum_{i=3, i \equiv 0 \, \text{mod} \, 3}^{n-3} f(x_i) + f(x_n) \right]$

Donde $\Delta x = \frac{b - a}{n}$ es el tamaño del subintervalo y $n$ es múltiplo de 3.

Paso 2: Identificación de parámetros

1. La función es $f(x) = \frac{4}{x}$.
2. El límite inferior $a = \frac{1}{6}$ y el valor superior puede deducirse del gráfico (parece ser $b = 4$).
3. El número de subintervalos $n = 9$, por lo que $\Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{4 - \frac{1}{6}}{9} = \frac{23}{54}$.

Paso 3: Cálculo de puntos y evaluación de la función

Los puntos $x_0, x_1, \dots, x_9$ serán:

$x_0 = \frac{1}{6}, \quad x_1 = x_0 + \Delta x = \frac{1}{6} + \frac{23}{54}, \quad \dots, \quad x_9 = 4$

Paso 4: Sustitución en la fórmula

Ahora, sustituimos los valores en la fórmula de Simpson 3/8, evaluamos la función en cada uno de los puntos $x_i$, y realizamos la sumatoria. Como el proceso implica un cálculo numérico algo largo, el resultado aproximado usando seis cifras decimales será la respuesta final.

Voy a proceder a resolver el cálculo exacto y numérico para ti.La aproximación del área bajo la curva $f(x) = \frac{4}{x}$ en el intervalo dado usando la regla de Simpson 3/8 con $n = 9$ es aproximadamente:

$\boxed{13.467775}$

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre el proceso? Aquí hay algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo influye el valor de $n$ en la precisión de la regla de Simpson 3/8?
2. ¿Qué diferencia hay entre la regla de Simpson 1/3 y la regla de Simpson 3/8?
3. ¿Cómo se derivan las fórmulas de aproximación de Simpson utilizando polinomios?
4. ¿Qué sucede si el intervalo de integración no es divisible por 3 para la regla de Simpson 3/8?
5. ¿Cómo cambia la precisión de la regla de Simpson 3/8 al aplicarla a funciones no racionales?

Tip: La precisión de las reglas de integración numérica aumenta cuando se utilizan más puntos de partición ($n$). Sin embargo, para funciones muy complicadas, puede ser más eficiente utilizar métodos adaptativos.