Math Problem Statement

paso a paso y en español

Considere la función f(x) = 1 / (1 + x^2), encontrar la integral definida de la función f(x) en el intervalo [-1, 1], mediante el método de Simpson, con n = 4.

Solution

Vamos a resolver la integral definida de la función f(x)=11+x2f(x) = \frac{1}{1+x^2} en el intervalo [1,1][-1,1] utilizando el método de Simpson con n=4n = 4. Aquí está el procedimiento paso a paso:


Paso 1: Fórmula del método de Simpson

El método de Simpson se expresa como: abf(x)dxh3[f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)++f(xn)]\int_a^b f(x) dx \approx \frac{h}{3} \left[f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \dots + f(x_n)\right] Donde:

  • h=banh = \frac{b-a}{n} es el ancho de cada subintervalo.
  • x0,x1,x2,,xnx_0, x_1, x_2, \dots, x_n son los puntos que dividen el intervalo [a,b][a,b] en nn partes iguales.

Paso 2: Dividir el intervalo y calcular hh

El intervalo es [1,1][-1, 1] y n=4n = 4: h=ban=1(1)4=24=0.5h = \frac{b-a}{n} = \frac{1 - (-1)}{4} = \frac{2}{4} = 0.5

Los puntos serán: x0=1,x1=0.5,x2=0,x3=0.5,x4=1x_0 = -1, \quad x_1 = -0.5, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = 0.5, \quad x_4 = 1


Paso 3: Evaluar f(x)f(x) en los puntos

La función es f(x)=11+x2f(x) = \frac{1}{1+x^2}. Evaluamos en cada punto:

f(x0)=f(1)=11+(1)2=12=0.5f(x_0) = f(-1) = \frac{1}{1+(-1)^2} = \frac{1}{2} = 0.5

f(x1)=f(0.5)=11+(0.5)2=11+0.25=11.25=0.8f(x_1) = f(-0.5) = \frac{1}{1+(-0.5)^2} = \frac{1}{1+0.25} = \frac{1}{1.25} = 0.8

f(x2)=f(0)=11+02=1f(x_2) = f(0) = \frac{1}{1+0^2} = 1

f(x3)=f(0.5)=11+(0.5)2=11+0.25=11.25=0.8f(x_3) = f(0.5) = \frac{1}{1+(0.5)^2} = \frac{1}{1+0.25} = \frac{1}{1.25} = 0.8

f(x4)=f(1)=11+(1)2=12=0.5f(x_4) = f(1) = \frac{1}{1+(1)^2} = \frac{1}{2} = 0.5


Paso 4: Sustituir en la fórmula de Simpson

La fórmula para n=4n = 4 es: 11f(x)dxh3[f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)+f(x4)]\int_{-1}^1 f(x) dx \approx \frac{h}{3} \left[f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + f(x_4)\right]

Sustituimos los valores: 11f(x)dx0.53[0.5+4(0.8)+2(1)+4(0.8)+0.5]\int_{-1}^1 f(x) dx \approx \frac{0.5}{3} \left[0.5 + 4(0.8) + 2(1) + 4(0.8) + 0.5\right]

11f(x)dx0.53[0.5+3.2+2+3.2+0.5]\int_{-1}^1 f(x) dx \approx \frac{0.5}{3} \left[0.5 + 3.2 + 2 + 3.2 + 0.5\right]

11f(x)dx0.53[9.4]\int_{-1}^1 f(x) dx \approx \frac{0.5}{3} \left[9.4\right]

11f(x)dx9.461.5667\int_{-1}^1 f(x) dx \approx \frac{9.4}{6} \approx 1.5667


Resultado final

La integral aproximada es: 1.5667\boxed{1.5667}

¿Te gustaría que explique algún paso más detalladamente o realizar otro ejemplo?

Preguntas relacionadas:

  1. ¿Cómo afecta el valor de nn (número de subintervalos) a la precisión del método de Simpson?
  2. ¿Qué sucede si se usa el método del trapecio en lugar de Simpson para esta función?
  3. ¿Por qué el método de Simpson es más preciso que otros métodos numéricos básicos?
  4. ¿Cómo se interpreta esta integral en términos de áreas bajo la curva?
  5. ¿Qué ocurre si intentamos calcular la integral de funciones discontinuas con Simpson?

Tip:

El método de Simpson es exacto para polinomios de grado 3 o menor, lo que lo hace especialmente útil para funciones suaves como la dada en este problema.

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Numerical Integration
Definite Integrals
Simpson's Rule

Formulas

Simpson's Rule: ∫_a^b f(x) dx ≈ (h / 3) [f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + ... + f(x_n)]
Interval division: h = (b - a) / n

Theorems

Fundamental Theorem of Calculus

Suitable Grade Level

Undergraduate or advanced high school (Grades 11-12)