Чтобы доказать, что существуют две неизоморфные группы порядка 4 — циклическая группа ($C_4$) и прямое произведение двух циклических групп порядка 2 ($C_2 \times C_2$) — можно использовать таблицы Кэли для описания структуры каждой группы.

Вот пошаговый анализ:

---

1. Циклическая группа $C_4$

Циклическая группа $C_4$ имеет генератор $a$, такой что: a^4 = e \quad \text{(где e — нейтральный элемент)} Элементы: $\{e, a, a^2, a^3\}$.

Таблица Кэли для $C_4$:

\cdot & e & a & a^2 & a^3 \\ \hline e & e & a & a^2 & a^3 \\ a & a & a^2 & a^3 & e \\ a^2 & a^2 & a^3 & e & a \\ a^3 & a^3 & e & a & a^2 \\ \end{array}$$ #### Свойства: 1. Группа имеет один порождающий элемент ($$a$$), который задаёт её циклическую структуру. 2. Все элементы, кроме $$e$$, являются степенями $$a$$. --- ### 2. Прямое произведение $$C_2 \times C_2$$ Прямое произведение $$C_2 \times C_2$$ имеет два независимых генератора $$a$$ и $$b$$, каждый из которых имеет порядок 2: $$a^2 = e, \quad b^2 = e, \quad \text{и } ab = ba.$$ Элементы: $$\{e, a, b, ab\}$$. **Таблица Кэли для $$C_2 \times C_2$$:** $$\begin{array}{c|cccc} \cdot & e & a & b & ab \\ \hline e & e & a & b & ab \\ a & a & e & ab & b \\ b & b & ab & e & a \\ ab & ab & b & a & e \\ \end{array}$$ #### Свойства: 1. Группа имеет два независимых генератора. 2. Все элементы, кроме $$e$$, являются их комбинациями. 3. Коммутативна, но не является циклической. --- ### 3. Неизоморфность групп $$C_4$$ и $$C_2 \times C_2$$ Группы неизоморфны, поскольку их структуры существенно различаются: - $$C_4$$ циклическая: имеет один генератор, все элементы связаны через его степени. - $$C_2 \times C_2$$ нециклическая: имеет два независимых генератора, и ни один элемент не может породить всю группу. Сравнение таблиц Кэли также показывает различия: - В $$C_4$$ каждый элемент, кроме $$e$$, появляется только один раз в каждой строке. - В $$C_2 \times C_2$$ есть симметрия из-за независимости генераторов. --- ### Вывод Существуют две неизоморфные группы порядка 4: 1. Циклическая группа $$C_4$$. 2. Прямое произведение $$C_2 \times C_2$$. Эти группы отличаются по своей структуре и свойствам. --- Хотите подробности или есть вопросы? Вот 5 дополнительных вопросов: 1. Как определить, изоморфны ли две группы общего вида? 2. Какие ещё примеры существуют для циклических групп других порядков? 3. Почему $$C_2 \times C_2$$ не может быть представлена как циклическая группа? 4. Как связаны эти группы с решением уравнений 4-й степени? 5. Какие методы, кроме таблиц Кэли, используются для классификации групп? **Совет:** Таблицы Кэли полезны для понимания структуры малых групп, но для больших групп лучше использовать более теоретические методы (например, анализ порядка элементов).