Untuk menentukan selang kemonotonan dan ekstrem fungsi $f(x) = \frac{x^2 - 3x + 1}{x - 3}$, kita perlu melakukan beberapa langkah, termasuk mencari turunan pertama untuk mengetahui sifat kemonotonan (apakah fungsi naik atau turun) dan ekstrem (titik maksimum atau minimum).

1. Menentukan turunan pertama

Gunakan aturan turunan untuk fungsi pecahan (aturan hasil bagi). Untuk fungsi $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$, turunan pertama adalah: $f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2}$ Di sini, $g(x) = x^2 - 3x + 1$ dan $h(x) = x - 3$.

Turunan dari $g(x)$:

$g'(x) = 2x - 3$

Turunan dari $h(x)$:

$h'(x) = 1$

Jadi, turunan pertama $f(x)$ adalah: $f'(x) = \frac{(2x - 3)(x - 3) - (x^2 - 3x + 1)}{(x - 3)^2}$

2. Menyederhanakan turunan pertama

Sekarang kita sederhanakan bentuk turunan tersebut:

Hitung suku pertama: $(2x - 3)(x - 3) = 2x(x - 3) - 3(x - 3) = 2x^2 - 6x - 3x + 9 = 2x^2 - 9x + 9$

Turunan pertama menjadi: $f'(x) = \frac{(2x^2 - 9x + 9) - (x^2 - 3x + 1)}{(x - 3)^2}$

Hitung pengurangan dalam pembilang: $(2x^2 - 9x + 9) - (x^2 - 3x + 1) = 2x^2 - 9x + 9 - x^2 + 3x - 1 = x^2 - 6x + 8$

Jadi, turunan pertama adalah: $f'(x) = \frac{x^2 - 6x + 8}{(x - 3)^2}$

3. Menentukan kemonotonan

Untuk mencari selang di mana fungsi naik atau turun, kita perlu menyelesaikan persamaan $f'(x) = 0$.

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Ini adalah persamaan kuadrat. Kita bisa mencari akarnya dengan rumus kuadrat:

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(8)}}{2(1)}$ $x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}$ $x_1 = \frac{6 + 2}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{6 - 2}{2} = 2$

Jadi, $f'(x) = 0$ di $x = 4$ dan $x = 2$.

Untuk menentukan apakah fungsi naik atau turun di antara nilai-nilai ini, kita uji tanda dari $f'(x)$ di interval-interval yang terbentuk: $(-\infty, 2)$, $(2, 4)$, dan $(4, \infty)$.

4. Menentukan ekstrem

Fungsi mungkin memiliki titik ekstrem di $x = 2$ dan $x = 4$. Kita perlu memeriksa perubahan tanda turunan pertama di sekitar titik-titik ini.

Interval:

• Untuk $x \in (-\infty, 2)$, pilih nilai misalnya $x = 0$, maka $f'(0) > 0$, fungsi naik.
• Untuk $x \in (2, 4)$, pilih nilai misalnya $x = 3$, tetapi $f'(3)$ tidak terdefinisi karena $x = 3$ adalah titik singular.
• Untuk $x \in (4, \infty)$, pilih nilai misalnya $x = 5$, maka $f'(5) > 0$, fungsi naik.

5. Kesimpulan

• Fungsi memiliki titik singular di $x = 3$ karena penyebutnya menjadi nol.
• Fungsi naik pada interval $(-\infty, 2)$ dan $(4, \infty)$.
• Fungsi turun pada interval $(2, 4)$.
• Titik ekstrem terjadi pada $x = 2$ dan $x = 4$.

Apakah Anda memerlukan detail tambahan mengenai cara kerja turunan atau interpretasi hasilnya? Jika ya, silakan bertanya!

Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menentukan jenis titik ekstrem (maksimum/minimum)?
2. Apa perbedaan antara titik singular dan titik kritis dalam suatu fungsi?
3. Apa langkah-langkah dalam menyelesaikan persamaan kuadrat secara umum?
4. Bagaimana cara menganalisis fungsi dengan lebih dari satu titik singular?
5. Apa hubungan antara turunan kedua dengan cek kemonotonan?

Tip: Saat menghitung turunan dari fungsi pecahan, selalu periksa apakah ada titik singular di mana fungsi tidak terdefinisi, karena ini penting untuk analisis interval.