Untuk menentukan selang kemonotonan dan titik ekstrem fungsi $f(x) = \frac{x^2 - 3x + 1}{x - 3}$, kita perlu melakukan beberapa langkah. Langkah-langkah ini termasuk mencari turunan pertama dan menganalisis tanda-tandanya untuk menentukan selang kemonotonan serta titik ekstrem.

Langkah 1: Tentukan Turunan Pertama

Fungsi yang diberikan berbentuk pecahan, sehingga kita bisa menggunakan aturan turunan untuk fungsi pecahan, yaitu aturan hasil bagi:

$f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ dengan $u(x) = x^2 - 3x + 1$ dan $v(x) = x - 3$.

Turunan fungsi pecahan diberikan oleh rumus: $f'(x) = \frac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x)}{v(x)^2}$

Langkah 2: Hitung Turunan dari $u(x)$ dan $v(x)$

$u'(x) = 2x - 3$ $v'(x) = 1$

Langkah 3: Substitusi ke Rumus Turunan

$f'(x) = \frac{(2x - 3)(x - 3) - (x^2 - 3x + 1)(1)}{(x - 3)^2}$

Sekarang, kita perlu menyederhanakan bentuk di bagian atas.

$f'(x) = \frac{(2x - 3)(x - 3) - (x^2 - 3x + 1)}{(x - 3)^2}$

Lakukan distribusi pada $(2x - 3)(x - 3)$:

$(2x - 3)(x - 3) = 2x^2 - 6x - 3x + 9 = 2x^2 - 9x + 9$

Sehingga, turunan pertama menjadi:

$f'(x) = \frac{(2x^2 - 9x + 9) - (x^2 - 3x + 1)}{(x - 3)^2}$

Lanjutkan menyederhanakan bagian atas:

$f'(x) = \frac{2x^2 - 9x + 9 - x^2 + 3x - 1}{(x - 3)^2}$

$f'(x) = \frac{x^2 - 6x + 8}{(x - 3)^2}$

Langkah 4: Tentukan Titik Kritis

Untuk mencari titik kritis, kita tentukan ketika $f'(x) = 0$. Ini terjadi ketika pembilang $x^2 - 6x + 8 = 0$.

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Kita gunakan rumus kuadrat untuk menyelesaikan persamaan ini:

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(8)}}{2(1)}$ $x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$ $x = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2}$ $x = \frac{6 \pm 2}{2}$

Sehingga $x = 4$ atau $x = 2$.

Langkah 5: Selang Kemonotonan

Sekarang kita analisis tanda dari $f'(x) = \frac{x^2 - 6x + 8}{(x - 3)^2}$.

Pembilang adalah $x^2 - 6x + 8 = (x - 4)(x - 2)$, sedangkan penyebut selalu positif karena $(x - 3)^2 \geq 0$ kecuali $x = 3$ (tak terdefinisi).

• Untuk $x < 2$, misalnya $x = 1$, tanda pembilang negatif, maka $f'(x) < 0$.
• Untuk $2 < x < 3$, misalnya $x = 2.5$, tanda pembilang positif, maka $f'(x) > 0$.
• Untuk $3 < x < 4$, misalnya $x = 3.5$, tanda pembilang negatif, maka $f'(x) < 0$.
• Untuk $x > 4$, misalnya $x = 5$, tanda pembilang positif, maka $f'(x) > 0$.

Langkah 6: Titik Ekstrem

Dari hasil analisis kemonotonan:

• Pada $x = 2$, terjadi perubahan dari negatif ke positif, sehingga $x = 2$ adalah titik minimum lokal.
• Pada $x = 4$, terjadi perubahan dari positif ke negatif, sehingga $x = 4$ adalah titik maksimum lokal.

Kesimpulan:

• Fungsi menurun pada selang $(-\infty, 2)$ dan $(3, 4)$.
• Fungsi meningkat pada selang $(2, 3)$ dan $(4, \infty)$.
• Titik minimum lokal di $x = 2$.
• Titik maksimum lokal di $x = 4$.

Ada pertanyaan atau ingin penjelasan lebih lanjut?

5 Pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menggunakan aturan hasil bagi pada fungsi pecahan?
2. Mengapa kita perlu memeriksa tanda turunan pertama untuk menentukan kemonotonan?
3. Apa yang menyebabkan $x = 3$ menjadi titik tak terdefinisi?
4. Bagaimana cara menentukan nilai ekstrim absolut dalam sebuah fungsi?
5. Mengapa fungsi bisa memiliki titik minimum atau maksimum lokal?

Tip: Pastikan untuk selalu memeriksa domain fungsi sebelum melakukan analisis lebih lanjut, terutama jika ada pembagian yang melibatkan variabel.