tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi berikut f(x) = x² - 3x + 1/x-3

Untuk menentukan selang kemonotonan dan titik ekstrem fungsi \( f(x) = \frac{x^2 - 3x + 1}{x - 3} \), kita perlu melakukan beberapa langkah. Langkah-langkah ini termasuk mencari turunan pertama dan menganalisis tanda-tandanya untuk menentukan selang kemonotonan serta titik ekstrem.

### Langkah 1: Tentukan Turunan Pertama
Fungsi yang diberikan berbentuk pecahan, sehingga kita bisa menggunakan aturan turunan untuk fungsi pecahan, yaitu **aturan hasil bagi**:

\[
f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}
\]
dengan \( u(x) = x^2 - 3x + 1 \) dan \( v(x) = x - 3 \).

Turunan fungsi pecahan diberikan oleh rumus:
\[
f'(x) = \frac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x)}{v(x)^2}
\]

### Langkah 2: Hitung Turunan dari \( u(x) \) dan \( v(x) \)
\[
u'(x) = 2x - 3
\]
\[
v'(x) = 1
\]

### Langkah 3: Substitusi ke Rumus Turunan
\[
f'(x) = \frac{(2x - 3)(x - 3) - (x^2 - 3x + 1)(1)}{(x - 3)^2}
\]

Sekarang, kita perlu menyederhanakan bentuk di bagian atas.

\[
f'(x) = \frac{(2x - 3)(x - 3) - (x^2 - 3x + 1)}{(x - 3)^2}
\]

Lakukan distribusi pada \( (2x - 3)(x - 3) \):

\[
(2x - 3)(x - 3) = 2x^2 - 6x - 3x + 9 = 2x^2 - 9x + 9
\]

Sehingga, turunan pertama menjadi:

\[
f'(x) = \frac{(2x^2 - 9x + 9) - (x^2 - 3x + 1)}{(x - 3)^2}
\]

Lanjutkan menyederhanakan bagian atas:

\[
f'(x) = \frac{2x^2 - 9x + 9 - x^2 + 3x - 1}{(x - 3)^2}
\]

\[
f'(x) = \frac{x^2 - 6x + 8}{(x - 3)^2}
\]

### Langkah 4: Tentukan Titik Kritis
Untuk mencari titik kritis, kita tentukan ketika \( f'(x) = 0 \). Ini terjadi ketika pembilang \( x^2 - 6x + 8 = 0 \).

\[
x^2 - 6x + 8 = 0
\]

Kita gunakan rumus kuadrat untuk menyelesaikan persamaan ini:

\[
x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(8)}}{2(1)}
\]
\[
x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}
\]
\[
x = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2}
\]
\[
x = \frac{6 \pm 2}{2}
\]

Sehingga \( x = 4 \) atau \( x = 2 \).

### Langkah 5: Selang Kemonotonan
Sekarang kita analisis tanda dari \( f'(x) = \frac{x^2 - 6x + 8}{(x - 3)^2} \).

Pembilang adalah \( x^2 - 6x + 8 = (x - 4)(x - 2) \), sedangkan penyebut selalu positif karena \( (x - 3)^2 \geq 0 \) kecuali \( x = 3 \) (tak terdefinisi).

- Untuk \( x < 2 \), misalnya \( x = 1 \), tanda pembilang negatif, maka \( f'(x) < 0 \).
- Untuk \( 2 < x < 3 \), misalnya \( x = 2.5 \), tanda pembilang positif, maka \( f'(x) > 0 \).
- Untuk \( 3 < x < 4 \), misalnya \( x = 3.5 \), tanda pembilang negatif, maka \( f'(x) < 0 \).
- Untuk \( x > 4 \), misalnya \( x = 5 \), tanda pembilang positif, maka \( f'(x) > 0 \).

### Langkah 6: Titik Ekstrem
Dari hasil analisis kemonotonan:
- Pada \( x = 2 \), terjadi perubahan dari negatif ke positif, sehingga \( x = 2 \) adalah **titik minimum lokal**.
- Pada \( x = 4 \), terjadi perubahan dari positif ke negatif, sehingga \( x = 4 \) adalah **titik maksimum lokal**.

### Kesimpulan:
- Fungsi **menurun** pada selang \( (-\infty, 2) \) dan \( (3, 4) \).
- Fungsi **meningkat** pada selang \( (2, 3) \) dan \( (4, \infty) \).
- **Titik minimum lokal** di \( x = 2 \).
- **Titik maksimum lokal** di \( x = 4 \).

Ada pertanyaan atau ingin penjelasan lebih lanjut?

**5 Pertanyaan terkait:**
1. Bagaimana cara menggunakan aturan hasil bagi pada fungsi pecahan?
2. Mengapa kita perlu memeriksa tanda turunan pertama untuk menentukan kemonotonan?
3. Apa yang menyebabkan \( x = 3 \) menjadi titik tak terdefinisi?
4. Bagaimana cara menentukan nilai ekstrim absolut dalam sebuah fungsi?
5. Mengapa fungsi bisa memiliki titik minimum atau maksimum lokal?

**Tip**: Pastikan untuk selalu memeriksa domain fungsi sebelum melakukan analisis lebih lanjut, terutama jika ada pembagian yang melibatkan variabel.

Learn how to determine the monotonicity and extrema of the rational function f(x) = (x² - 3x + 1)/(x - 3) with step-by-step instructions. This problem covers key calculus concepts such as the first derivative test, the quotient rule, and critical points. Suitable for high school students in Grades 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation