Nous avons $z = 1 - e^{-i\frac{\pi}{3}}$, et nous devons déterminer son module et son argument.

1. Déterminer le module de $z$

Le module de $z$, noté $|z|$, est donné par :

$|z| = \sqrt{(Re(z))^2 + (Im(z))^2}$

Commençons par exprimer $z = 1 - e^{-i\frac{\pi}{3}}$.

L'exponentielle complexe $e^{-i\frac{\pi}{3}}$ peut être écrite sous forme trigonométrique grâce à la formule d'Euler :

= \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$$ Ainsi, $$z$$ devient : $$z = 1 - \left( \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 1 - \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$z = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$$ Maintenant, pour calculer le module de $$z$$, on utilise la formule mentionnée plus tôt : $$|z| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$$ Donc, le module de $$z$$ est $$|z| = 1$$. ### 2. Déterminer l'argument de $$z$$ L'argument de $$z$$, noté $$\arg(z)$$, est l'angle $$\theta$$ que forme le vecteur représentant $$z$$ avec l'axe réel positif dans le plan complexe. On peut déterminer l'argument en utilisant la formule suivante pour un nombre complexe $$z = a + bi$$ : $$\arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$$ Ici, $$a = \frac{1}{2}$$ et $$b = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, donc : $$\arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}\right) = \tan^{-1}(\sqrt{3})$$ On sait que $$\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$$, donc : $$\arg(z) = \frac{\pi}{3}$$ ### Conclusion Le module de $$z$$ est $$1$$ et son argument est $$\frac{\pi}{3}$$. --- **Questions supplémentaires :** 1. Que se passe-t-il si nous remplaçons $$e^{-i\frac{\pi}{3}}$$ par $$e^{i\frac{\pi}{3}}$$ ? 2. Comment vérifier graphiquement que l'argument de $$z$$ est bien $$\frac{\pi}{3}$$ ? 3. Quelle est la forme trigonométrique de $$z$$ ? 4. Comment représenter $$z$$ sur le plan complexe ? 5. Quels sont les modules et arguments des autres nombres complexes impliqués dans des équations similaires ? **Conseil :** Toujours vérifier les signes de la partie réelle et imaginaire lors du calcul de l'argument pour éviter des erreurs dans le quadrant du plan complexe.