Pour calculer l'argument du nombre complexe $Z_1 = -1 + i$, on procède comme suit :

Étape 1 : Représenter le nombre complexe dans le plan complexe

Le nombre complexe $Z_1 = -1 + i$ peut être représenté par le point de coordonnées $(-1, 1)$ dans le plan complexe, avec :

• une partie réelle $\operatorname{Re}(Z_1) = -1$
• une partie imaginaire $\operatorname{Im}(Z_1) = 1$

Étape 2 : Calculer la norme (ou module) de $Z_1$ (optionnel pour l'argument)

La norme de $Z_1$ est donnée par : $|Z_1| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

Bien que cette norme ne soit pas nécessaire pour l'argument, elle est parfois utile pour la forme polaire.

Étape 3 : Calculer l'argument de $Z_1$

L'argument d'un nombre complexe $Z = x + iy$ est l'angle $\theta$ que fait le vecteur avec l'axe réel positif, mesuré dans le sens trigonométrique. Cet angle est donné par : $\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$ Dans notre cas, $x = -1$ et $y = 1$.

$\theta = \arctan\left(\frac{1}{-1}\right) = \arctan(-1)$

L'angle $\arctan(-1)$ est $-\frac{\pi}{4}$, mais comme $Z_1$ est dans le deuxième quadrant (partie réelle négative et partie imaginaire positive), nous devons ajouter $\pi$ pour obtenir l'angle dans le bon quadrant :

$\theta = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$

Conclusion

L'argument de $Z_1 = -1 + i$ est donc : $\arg(Z_1) = \frac{3\pi}{4}$

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Avez-vous besoin de plus de détails sur ce calcul ou des questions ?

Questions supplémentaires :

1. Comment exprimer $Z_1$ en notation polaire avec le module et l'argument ?
2. Comment représenter le point $Z_1 = -1 + i$ graphiquement dans le plan complexe ?
3. Que se passe-t-il si le nombre complexe est dans un autre quadrant ?
4. Comment calculer l'argument pour un complexe dont la partie réelle est nulle ?
5. Comment additionner deux arguments pour obtenir celui d'un produit de deux nombres complexes ?

Conseil :

Lorsque vous calculez un argument, identifiez toujours le quadrant pour ajuster correctement l'angle, en ajoutant $\pi$ ou $2\pi$ si nécessaire.