dit comment dois je calculer l'argument du nombre complexe: Z1=-1+i

Pour calculer l'argument du nombre complexe \( Z_1 = -1 + i \), on procède comme suit :

### Étape 1 : Représenter le nombre complexe dans le plan complexe
Le nombre complexe \( Z_1 = -1 + i \) peut être représenté par le point de coordonnées \( (-1, 1) \) dans le plan complexe, avec :
- une partie réelle \( \operatorname{Re}(Z_1) = -1 \)
- une partie imaginaire \( \operatorname{Im}(Z_1) = 1 \)

### Étape 2 : Calculer la norme (ou module) de \( Z_1 \) (optionnel pour l'argument)
La norme de \( Z_1 \) est donnée par :
\[
|Z_1| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}
\]

Bien que cette norme ne soit pas nécessaire pour l'argument, elle est parfois utile pour la forme polaire.

### Étape 3 : Calculer l'argument de \( Z_1 \)
L'argument d'un nombre complexe \( Z = x + iy \) est l'angle \( \theta \) que fait le vecteur avec l'axe réel positif, mesuré dans le sens trigonométrique. Cet angle est donné par :
\[
\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)
\]
Dans notre cas, \( x = -1 \) et \( y = 1 \).

\[
\theta = \arctan\left(\frac{1}{-1}\right) = \arctan(-1)
\]

L'angle \( \arctan(-1) \) est \( -\frac{\pi}{4} \), mais comme \( Z_1 \) est dans le **deuxième quadrant** (partie réelle négative et partie imaginaire positive), nous devons ajouter \( \pi \) pour obtenir l'angle dans le bon quadrant :

\[
\theta = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}
\]

### Conclusion
L'argument de \( Z_1 = -1 + i \) est donc :
\[
\arg(Z_1) = \frac{3\pi}{4}
\]

---

Avez-vous besoin de plus de détails sur ce calcul ou des questions ?

### Questions supplémentaires :
1. Comment exprimer \( Z_1 \) en notation polaire avec le module et l'argument ?
2. Comment représenter le point \( Z_1 = -1 + i \) graphiquement dans le plan complexe ?
3. Que se passe-t-il si le nombre complexe est dans un autre quadrant ?
4. Comment calculer l'argument pour un complexe dont la partie réelle est nulle ?
5. Comment additionner deux arguments pour obtenir celui d'un produit de deux nombres complexes ?

### Conseil :
Lorsque vous calculez un argument, identifiez toujours le quadrant pour ajuster correctement l'angle, en ajoutant \( \pi \) ou \( 2\pi \) si nécessaire.

Discover how to calculate the argument of the complex number Z1 = -1 + i with a step-by-step approach. This solution covers polar coordinates, complex number arguments, and quadrant-based angle adjustments. Perfect for students in Grades 10-12.

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