题目给出正整数 $n$ 和一系列正整数 $a_1, a_2, \dots, a_n$，满足以下条件：

对于任意 $i = 1, 2, \dots, n$，有 $i$ 整除 $\alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_n$，即：

$i \mid \left( \alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_n \right)$

要求我们求 $a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2$ 的最小值。

解析思路：

1. 约束条件分析： 对于每个 $i$，$i \mid \left( a_1 + a_2 + \dots + a_n \right)$，即 $a_1 + a_2 + \dots + a_n$ 是每个 $i$ 的倍数。这意味着总和 $S = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ 必须是 1 到 $n$ 所有整数的最小公倍数（即 $\text{lcm}(1, 2, \dots, n)$）。

2. 选择 $a_1, a_2, \dots, a_n$： 为了满足 $i \mid S$，我们可以选择 $S$ 为 $\text{lcm}(1, 2, \dots, n)$，即使得总和 $S$ 能被所有 $i$ 整除。为了使每个 $a_i$ 尽可能小，通常我们会选择 $a_i$ 为合适的倍数，保证每个 $a_i$ 的平方和最小。

3. 平方和最小化： 在选择 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 时，我们希望 $a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2$ 尽可能小。这通常意味着我们需要选择一些合适的 $a_i$ 来满足这些约束。

4. 具体计算： 让我们首先计算 $\text{lcm}(1, 2, \dots, n)$ 来帮助我们确定 $a_1 + a_2 + \dots + a_n$，然后通过合理的分配 $a_i$ 来使得平方和最小。

计算过程：

• 对于小的 $n$ 值，我们可以手动计算。
• 例如，当 $n = 3$ 时，$\text{lcm}(1, 2, 3) = 6$，我们可以选择 $a_1 = 2, a_2 = 2, a_3 = 2$，使得 $a_1 + a_2 + a_3 = 6$，此时 $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 4 + 4 + 4 = 12$。

结论：

为了找到最小的平方和，我们可以使用最小公倍数来设定 $a_1 + a_2 + \dots + a_n$，然后通过合理选择每个 $a_i$ 的值来使得平方和最小。具体的结果会依赖于 $n$ 的大小，逐步增加 $n$ 可以使用类似的策略。

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如果你有进一步的数学问题或需要其他的步骤，请告诉我！你是否对这个过程中的某个步骤有疑问？

相关问题：

1. 你是否希望进一步探讨如何计算最小公倍数？
2. 你是否想了解如何通过选择特定的 $a_i$ 来进一步优化平方和？
3. 如何证明每个 $i$ 都能整除 $a_1 + a_2 + \dots + a_n$？
4. 如果 $n$ 很大，我们应该如何快速计算平方和的最小值？
5. 如何运用数学归纳法证明这些结果？

小贴士：

最小公倍数的计算是解决这类问题的关键，可以通过使用欧几里得算法来高效地计算两个数的最大公约数（GCD），从而求得它们的最小公倍数。