已知实数 $x$、$y$ 满足 $x^2 - xy - 6y^2 = 1$，要求表达式 $x^2 + xy + y^2$ 的最小值。

1. 首先，我们将 $x^2 - xy - 6y^2 = 1$ 进行代数变换。令： $S = x^2 + xy + y^2$ 我们的目标是求出 $S$ 的最小值。

2. 使用待定系数法或将其视为一个二次型来对其进行分解，可以对 $x$ 和 $y$ 进行参数化处理，或利用拉格朗日乘数法，进而优化表达式。

这个问题可以通过代入法或利用偏导数求最值的方法完成。若需详细步骤，我们可以继续深入推导。

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相关问题

1. 如何确定二次方程在约束条件下的最小值？
2. 在拉格朗日乘数法中，何时可以使用约束方程求解？
3. 是否有更简便的方法求取类似表达式的最值？
4. 能否在几何上理解该方程的约束条件？
5. 表达式中的变量关系如何影响最值？

小提示

在面对二次型表达式时，转化成已知二次型方程的标准形式可以简化问题求解。