我们要解决这个问题：已知正整数 $n$，找出满足条件 $a_1 < a_2 < \cdots < a_n$，并且对任意 $i = 1, 2, \ldots, n$， $i \mid (a_1 + a_2 + \cdots + a_n)$ 的正整数 $a_1, a_2, \ldots, a_n$，使得 $a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2$ 最小化。

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解题分析：

1. 条件分析：

• 对于每个 $i$， $i \mid (a_1 + a_2 + \cdots + a_n)$ 表示 $a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ 必须是 $i$ 的倍数。
• 我们需要寻找 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 的具体取值，使得上述条件成立，同时平方和 $a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2$ 最小化。

2. 观察性质：

为了最小化平方和 $a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2$，应当尽量使得 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 的值尽可能小，同时满足上述的倍数性条件。

3. 构造方法：

构造满足条件的 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 的最小值序列的一种方法是： $a_i = \frac{i}{\gcd(i, n)} \quad (i = 1, 2, \ldots, n)$ 其中 $\gcd(i, n)$ 是 $i$ 和 $n$ 的最大公约数。

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特例分析：

如果 $n = 3$：

• $i = 1, 2, 3$
• 构造 $a_1, a_2, a_3$，假设 $a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 3$。 验证条件：总和 $S = 1 + 2 + 3 = 6$，满足 $i \mid S$ 对每个 $i = 1, 2, 3$。

平方和： $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 14$

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一般解法：

对于任意 $n$，通过构造 $a_1, a_2, \ldots, a_n$，并验证倍数性条件，我们可以递归计算最小平方和。

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总结：

根据上述分析，寻找满足倍数条件的序列 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 并最小化平方和时，关键在于利用 $i$ 的倍数性构造最小的 $a_i$。

如果需要完整代码实现或进一步推导，随时告诉我！ 😊

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相对问题：

1. 如何利用最大公约数 $\gcd(i, n)$ 改进构造 $a_i$ 的方法？
2. 为什么 $a_1 < a_2 < \cdots < a_n$ 是必要的条件？
3. 是否可以使用动态规划构造最优序列 $a_1, a_2, \ldots, a_n$？
4. 在平方和最小化时，是否可以引入更优的贪心算法？
5. 是否可以使用其他方法验证 $i \mid (a_1 + a_2 + \cdots + a_n)$？

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一条提示：

构造数列时，优先选择较小的 $a_i$，并验证其满足倍数性条件，以避免后续需要调整。