Para resolver este problema, usamos Cálculo Variacional para minimizar la suma de los cuadrados, sujeto a la condición de que la suma de los números sea igual a 12.

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Paso 1: Definir las variables y función objetivo

Sean $x$, $y$, y $z$ los tres números positivos tales que: $x + y + z = 12$ Queremos minimizar: $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$

Paso 2: Incorporar la restricción usando multiplicadores de Lagrange

Sea: $g(x, y, z) = x + y + z - 12$ y la función de Lagrange: $\mathcal{L}(x, y, z, \lambda) = x^2 + y^2 + z^2 + \lambda (x + y + z - 12)$

Paso 3: Calcular las derivadas parciales

Derivamos parcialmente con respecto a $x$, $y$, $z$, y $\lambda$: $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 2x + \lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = -2x$ $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 2y + \lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = -2y$ $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z} = 2z + \lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = -2z$ $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = x + y + z - 12 = 0$

Paso 4: Igualar los multiplicadores

De las tres ecuaciones $\lambda = -2x$, $\lambda = -2y$, y $\lambda = -2z$, concluimos que: $x = y = z$

Paso 5: Sustituir en la restricción

Usamos la restricción $x + y + z = 12$: $x + x + x = 12 \quad \Rightarrow \quad 3x = 12 \quad \Rightarrow \quad x = 4$

Por lo tanto: $x = 4, \, y = 4, \, z = 4$

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Solución final: Los tres números positivos son: $\boxed{4, 4, 4}$

Comprobación: $x^2 + y^2 + z^2 = 4^2 + 4^2 + 4^2 = 16 + 16 + 16 = 48$

Esta es la suma mínima de los cuadrados, dado que los números son iguales.

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¿Desea más detalles o tiene alguna pregunta?

5 Preguntas Relacionadas

1. ¿Qué sucede si la restricción es diferente (por ejemplo, $x + y + z = k$)?
2. ¿Cómo se aplica este método en problemas de optimización con más variables?
3. ¿Qué pasa si los números no son necesariamente positivos?
4. ¿Podemos resolver este problema gráficamente para verificar la solución?
5. ¿Qué sucede si minimizamos $x^2 + 2y^2 + 3z^2$ bajo la misma restricción?

Tip: Usar los multiplicadores de Lagrange es clave para resolver problemas de optimización con restricciones.