Minimizar a função x²+3y²+10, Sujeita a restrição 8-x-y=0

Para minimizar a função \( f(x, y) = x^2 + 3y^2 + 10 \), sujeita à restrição \( g(x, y) = 8 - x - y = 0 \), utilizamos o método dos multiplicadores de Lagrange.

### Passos:

1. **Definir a função de Lagrange:**

   A função de Lagrange é dada por:
   \[
   \mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda g(x, y)
   \]
   Substituindo as funções, temos:
   \[
   \mathcal{L}(x, y, \lambda) = x^2 + 3y^2 + 10 + \lambda(8 - x - y)
   \]

2. **Calcular as derivadas parciais:**

   Agora, derivamos a função de Lagrange em relação a \(x\), \(y\) e \(\lambda\):
   \[
   \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 2x - \lambda = 0
   \]
   \[
   \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 6y - \lambda = 0
   \]
   \[
   \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 8 - x - y = 0
   \]

3. **Resolver o sistema de equações:**

   A partir das equações obtidas:
   - Da primeira equação: \( \lambda = 2x \)
   - Da segunda equação: \( \lambda = 6y \)

   Igualando \( 2x = 6y \), obtemos:
   \[
   x = 3y
   \]

   Agora, substituímos \( x = 3y \) na restrição \( 8 - x - y = 0 \):
   \[
   8 - 3y - y = 0 \quad \Rightarrow \quad 8 = 4y \quad \Rightarrow \quad y = 2
   \]

   Substituindo \( y = 2 \) em \( x = 3y \):
   \[
   x = 3(2) = 6
   \]

4. **Calcular o valor da função objetivo:**

   Substituindo \( x = 6 \) e \( y = 2 \) na função original \( f(x, y) = x^2 + 3y^2 + 10 \):
   \[
   f(6, 2) = 6^2 + 3(2^2) + 10 = 36 + 12 + 10 = 58
   \]

### Resposta:
O valor mínimo da função é \( 58 \) e ocorre no ponto \( (6, 2) \).

Deseja mais detalhes ou tem alguma pergunta?

---

**Perguntas relacionadas:**
1. Como o método dos multiplicadores de Lagrange funciona em várias restrições?
2. Como determinar se o ponto encontrado é realmente um mínimo global?
3. O que acontece se alterarmos a função objetivo para \( x^2 + y^2 + 10 \)?
4. Como lidar com restrições não-lineares usando o método de Lagrange?
5. O que significa a interpretação geométrica do método de Lagrange?

**Dica:** O método dos multiplicadores de Lagrange é uma ferramenta poderosa para otimização em problemas com restrições, mas garantir a solução exige verificar a natureza dos pontos críticos.

Learn how to minimize the function x² + 3y² + 10 subject to the constraint 8 - x - y = 0 using Lagrange multipliers. Detailed step-by-step solution with calculations and interpretation. Suitable for advanced undergraduate students and professionals.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation