Para minimizar a função $f(x, y) = x^2 + 3y^2 + 10$, sujeita à restrição $g(x, y) = 8 - x - y = 0$, utilizamos o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passos:

1. Definir a função de Lagrange:

   A função de Lagrange é dada por: $\mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda g(x, y)$ Substituindo as funções, temos: $\mathcal{L}(x, y, \lambda) = x^2 + 3y^2 + 10 + \lambda(8 - x - y)$

2. Calcular as derivadas parciais:

   Agora, derivamos a função de Lagrange em relação a $x$, $y$ e $\lambda$: $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 2x - \lambda = 0$ $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 6y - \lambda = 0$ $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 8 - x - y = 0$

3. Resolver o sistema de equações:

   A partir das equações obtidas:

   • Da primeira equação: $\lambda = 2x$
   • Da segunda equação: $\lambda = 6y$

   Igualando $2x = 6y$, obtemos: $x = 3y$

   Agora, substituímos $x = 3y$ na restrição $8 - x - y = 0$: $8 - 3y - y = 0 \quad \Rightarrow \quad 8 = 4y \quad \Rightarrow \quad y = 2$

   Substituindo $y = 2$ em $x = 3y$: $x = 3(2) = 6$

4. Calcular o valor da função objetivo:

   Substituindo $x = 6$ e $y = 2$ na função original $f(x, y) = x^2 + 3y^2 + 10$: $f(6, 2) = 6^2 + 3(2^2) + 10 = 36 + 12 + 10 = 58$

Resposta:

O valor mínimo da função é $58$ e ocorre no ponto $(6, 2)$.

Deseja mais detalhes ou tem alguma pergunta?

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Perguntas relacionadas:

1. Como o método dos multiplicadores de Lagrange funciona em várias restrições?
2. Como determinar se o ponto encontrado é realmente um mínimo global?
3. O que acontece se alterarmos a função objetivo para $x^2 + y^2 + 10$?
4. Como lidar com restrições não-lineares usando o método de Lagrange?
5. O que significa a interpretação geométrica do método de Lagrange?

Dica: O método dos multiplicadores de Lagrange é uma ferramenta poderosa para otimização em problemas com restrições, mas garantir a solução exige verificar a natureza dos pontos críticos.