Resolver os seguintes exercicios usando o método de Lagrange

a) Minimizar a função x ^ 2 + 3y ^ 2 + 10 sujeita à restrição 8 - x - y = 0 (sol: 58 em x = 6 y = 2 lambda = 12 )

Para resolver este problema usando o método dos multiplicadores de Lagrange, devemos minimizar a função \( f(x, y) = x^2 + 3y^2 + 10 \), sujeita à restrição \( g(x, y) = 8 - x - y = 0 \).

O método de Lagrange consiste em introduzir uma nova função chamada função Lagrangiana, que incorpora a função objetivo e a restrição, usando um multiplicador \( \lambda \). A função Lagrangiana é dada por:

\[
\mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda g(x, y)
\]

Substituímos as funções \( f(x, y) \) e \( g(x, y) \) na Lagrangiana:

\[
\mathcal{L}(x, y, \lambda) = x^2 + 3y^2 + 10 - \lambda(8 - x - y)
\]

Agora, para encontrar os valores de \( x \), \( y \) e \( \lambda \), devemos calcular as derivadas parciais da função Lagrangiana em relação a \( x \), \( y \) e \( \lambda \), e igualar essas derivadas a zero para formar um sistema de equações.

### 1. Derivada em relação a \( x \):

\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 2x + \lambda = 0
\]

Ou seja:

\[
2x + \lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = -2x \quad \text{(Equação 1)}
\]

### 2. Derivada em relação a \( y \):

\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 6y + \lambda = 0
\]

Ou seja:

\[
6y + \lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = -6y \quad \text{(Equação 2)}
\]

### 3. Derivada em relação a \( \lambda \) (restrição):

\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = -(8 - x - y) = 0
\]

Ou seja:

\[
8 - x - y = 0 \quad \Rightarrow \quad x + y = 8 \quad \text{(Equação 3)}
\]

Agora temos um sistema de três equações:

1. \( \lambda = -2x \)
2. \( \lambda = -6y \)
3. \( x + y = 8 \)

### Passo 1: Igualando as equações 1 e 2

\[
-2x = -6y \quad \Rightarrow \quad 2x = 6y \quad \Rightarrow \quad x = 3y
\]

### Passo 2: Substituindo \( x = 3y \) na equação 3

Substituímos \( x = 3y \) na equação \( x + y = 8 \):

\[
3y + y = 8 \quad \Rightarrow \quad 4y = 8 \quad \Rightarrow \quad y = 2
\]

### Passo 3: Encontrando \( x \)

Agora que sabemos que \( y = 2 \), substituímos esse valor na equação \( x = 3y \):

\[
x = 3 \times 2 = 6
\]

### Passo 4: Encontrando \( \lambda \)

Substituímos \( x = 6 \) na equação \( \lambda = -2x \):

\[
\lambda = -2 \times 6 = -12
\]

### Passo 5: Verificando a solução

Os valores \( x = 6 \), \( y = 2 \), e \( \lambda = -12 \) satisfazem todas as equações do sistema. Agora podemos calcular o valor da função objetivo:

\[
f(x, y) = x^2 + 3y^2 + 10 = 6^2 + 3(2^2) + 10 = 36 + 12 + 10 = 58
\]

Portanto, o valor mínimo da função é 58, e ocorre em \( x = 6 \), \( y = 2 \), com \( \lambda = -12 \).

### Resumo da Solução:

- \( x = 6 \)
- \( y = 2 \)
- \( \lambda = -12 \)
- Valor mínimo da função: \( f(x, y) = 58 \)

Deseja detalhes adicionais sobre o método de Lagrange ou tem alguma dúvida?

---

1. Como o método de Lagrange funciona para problemas de maximização?
2. O que acontece se houver várias restrições no problema?
3. Como interpretar o valor do multiplicador \( \lambda \)?
4. Pode-se aplicar o método de Lagrange para problemas em 3 variáveis?
5. Qual é a relação entre o método de Lagrange e derivadas parciais?

**Dica**: O multiplicador \( \lambda \) muitas vezes representa a taxa de variação da função objetivo em relação à restrição.

Resolver os seguintes exercicios usando o método de Lagrange: a) Minimizar a função x^2 + 3y^2 + 10 sujeita à restrição 8 - x - y = 0 (sol: 58 em x = 6 y = 2 lambda = 12 )

Explore how to minimize the function x^2 + 3y^2 + 10 using the Lagrange multiplier method, with a constraint 8 - x - y = 0. This step-by-step solution covers the use of partial derivatives and introduces the Lagrangian. Solution: x = 6, y = 2, λ = -12, and minimum value = 58. Suitable for university-level students studying calculus and optimization.

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