Para resolver este problema usando o método dos multiplicadores de Lagrange, devemos minimizar a função $f(x, y) = x^2 + 3y^2 + 10$, sujeita à restrição $g(x, y) = 8 - x - y = 0$.

O método de Lagrange consiste em introduzir uma nova função chamada função Lagrangiana, que incorpora a função objetivo e a restrição, usando um multiplicador $\lambda$. A função Lagrangiana é dada por:

$\mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda g(x, y)$

Substituímos as funções $f(x, y)$ e $g(x, y)$ na Lagrangiana:

$\mathcal{L}(x, y, \lambda) = x^2 + 3y^2 + 10 - \lambda(8 - x - y)$

Agora, para encontrar os valores de $x$, $y$ e $\lambda$, devemos calcular as derivadas parciais da função Lagrangiana em relação a $x$, $y$ e $\lambda$, e igualar essas derivadas a zero para formar um sistema de equações.

1. Derivada em relação a $x$:

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 2x + \lambda = 0$

Ou seja:

$2x + \lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = -2x \quad \text{(Equação 1)}$

2. Derivada em relação a $y$:

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 6y + \lambda = 0$

Ou seja:

$6y + \lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = -6y \quad \text{(Equação 2)}$

3. Derivada em relação a $\lambda$ (restrição):

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = -(8 - x - y) = 0$

Ou seja:

$8 - x - y = 0 \quad \Rightarrow \quad x + y = 8 \quad \text{(Equação 3)}$

Agora temos um sistema de três equações:

1. $\lambda = -2x$
2. $\lambda = -6y$
3. $x + y = 8$

Passo 1: Igualando as equações 1 e 2

$-2x = -6y \quad \Rightarrow \quad 2x = 6y \quad \Rightarrow \quad x = 3y$

Passo 2: Substituindo $x = 3y$ na equação 3

Substituímos $x = 3y$ na equação $x + y = 8$:

$3y + y = 8 \quad \Rightarrow \quad 4y = 8 \quad \Rightarrow \quad y = 2$

Passo 3: Encontrando $x$

Agora que sabemos que $y = 2$, substituímos esse valor na equação $x = 3y$:

$x = 3 \times 2 = 6$

Passo 4: Encontrando $\lambda$

Substituímos $x = 6$ na equação $\lambda = -2x$:

$\lambda = -2 \times 6 = -12$

Passo 5: Verificando a solução

Os valores $x = 6$, $y = 2$, e $\lambda = -12$ satisfazem todas as equações do sistema. Agora podemos calcular o valor da função objetivo:

$f(x, y) = x^2 + 3y^2 + 10 = 6^2 + 3(2^2) + 10 = 36 + 12 + 10 = 58$

Portanto, o valor mínimo da função é 58, e ocorre em $x = 6$, $y = 2$, com $\lambda = -12$.

Resumo da Solução:

• $x = 6$
• $y = 2$
• $\lambda = -12$
• Valor mínimo da função: $f(x, y) = 58$

Deseja detalhes adicionais sobre o método de Lagrange ou tem alguma dúvida?

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1. Como o método de Lagrange funciona para problemas de maximização?
2. O que acontece se houver várias restrições no problema?
3. Como interpretar o valor do multiplicador $\lambda$?
4. Pode-se aplicar o método de Lagrange para problemas em 3 variáveis?
5. Qual é a relação entre o método de Lagrange e derivadas parciais?

Dica: O multiplicador $\lambda$ muitas vezes representa a taxa de variação da função objetivo em relação à restrição.