Para maximizar a função $f(x, y) = x^2 + xy - 3y^2$ sujeita à restrição $g(x, y) = 2 - x - 2y = 0$, podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Este método envolve encontrar os pontos críticos da função de Lagrange definida como:

$\mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda g(x, y)$

Aqui, $\lambda$ é o multiplicador de Lagrange. Primeiro, vamos definir a função de Lagrange e depois calcular suas derivadas parciais.

Passo 1: Definir a função de Lagrange

$\mathcal{L}(x, y, \lambda) = x^2 + xy - 3y^2 + \lambda (2 - x - 2y)$

Passo 2: Calcular as derivadas parciais

Calculamos as derivadas parciais de $\mathcal{L}$ em relação a $x$, $y$, e $\lambda$:

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 2x + y - \lambda = 0$

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = x - 6y - 2\lambda = 0$

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 2 - x - 2y = 0$

Passo 3: Resolver o sistema de equações

Agora resolvemos o sistema de equações:

1. $2x + y - \lambda = 0$
2. $x - 6y - 2\lambda = 0$
3. $2 - x - 2y = 0$

Vamos resolver estas equações passo a passo:

Da equação 3:

$x = 2 - 2y$

Substituindo $x = 2 - 2y$ nas equações 1 e 2:

Na equação 1:

$2(2 - 2y) + y - \lambda = 0 \implies 4 - 4y + y - \lambda = 0 \implies 4 - 3y = \lambda$

Na equação 2:

$(2 - 2y) - 6y - 2\lambda = 0 \implies 2 - 2y - 6y - 2\lambda = 0 \implies 2 - 8y - 2\lambda = 0$

Substituímos $\lambda = 4 - 3y$ na equação acima:

$2 - 8y - 2(4 - 3y) = 0 \implies 2 - 8y - 8 + 6y = 0 \implies -6 - 2y = 0$

$-2y = 6 \implies y = -3$

Agora, encontramos $y = -3$. Substituindo este valor em $x = 2 - 2y$:

$x = 2 - 2(-3) = 2 + 6 = 8$

Portanto, o ponto crítico é $(x, y) = (8, -3)$.

Verificação de Máximo ou Mínimo

Para verificar se este ponto é um máximo ou mínimo, podemos substituir $x = 8$ e $y = -3$ na função original:

$f(8, -3) = 8^2 + 8(-3) - 3(-3)^2 = 64 - 24 - 27 = 13$

Portanto, o valor máximo de $f(x, y)$ sujeito à restrição $2 - x - 2y = 0$ é 13 no ponto $(8, -3)$.

Resumo

• Ponto crítico: $(x, y) = (8, -3)$
• Valor máximo: $f(8, -3) = 13$

Você gostaria de mais detalhes sobre alguma etapa? Aqui estão algumas perguntas relacionadas que podem ajudar a expandir o entendimento:

1. Como funciona o método dos multiplicadores de Lagrange?
2. Quais são as condições de segunda ordem para um máximo ou mínimo?
3. Como resolver sistemas de equações lineares?
4. Quais são outras técnicas para otimização com restrições?
5. O que são derivadas parciais e como são calculadas?

Dica: Sempre verifique suas soluções substituindo-as de volta nas equações originais para garantir que satisfazem todas as condições.