Nilai minimum dari f(x,y)=x²+4xy+y² dengan kendala x-y-6 adalah

Untuk mencari nilai minimum dari fungsi \( f(x, y) = x^2 + 4xy + y^2 \) dengan kendala \( x - y = 6 \), kita bisa menggunakan metode **Lagrange Multiplier**.

Langkah-langkahnya sebagai berikut:

### 1. Tentukan Fungsi Lagrange:
Fungsi Lagrange didefinisikan sebagai:
\[
\mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda g(x, y)
\]
Di mana \( g(x, y) = x - y - 6 = 0 \) adalah kendalanya, dan \( \lambda \) adalah multiplier Lagrange. Sehingga fungsi Lagrange menjadi:
\[
\mathcal{L}(x, y, \lambda) = x^2 + 4xy + y^2 - \lambda(x - y - 6)
\]

### 2. Hitung Turunan Parsial:
Sekarang, kita hitung turunan parsial dari \( \mathcal{L} \) terhadap \( x \), \( y \), dan \( \lambda \), dan kemudian kita set sama dengan 0:

- Turunan terhadap \( x \):
\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 2x + 4y - \lambda = 0 \quad \text{(Persamaan 1)}
\]
- Turunan terhadap \( y \):
\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 4x + 2y + \lambda = 0 \quad \text{(Persamaan 2)}
\]
- Turunan terhadap \( \lambda \) (kendala):
\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = -(x - y - 6) = 0 \quad \Rightarrow x - y = 6 \quad \text{(Persamaan 3)}
\]

### 3. Selesaikan Sistem Persamaan:
Sekarang kita punya tiga persamaan:

1. \( 2x + 4y - \lambda = 0 \)
2. \( 4x + 2y + \lambda = 0 \)
3. \( x - y = 6 \)

Langkah berikutnya adalah menyelesaikan sistem persamaan ini.

- Dari Persamaan (3), kita dapat menyatakan \( x = y + 6 \).
- Substitusi \( x = y + 6 \) ke dalam Persamaan (1) dan (2).

#### Substitusi ke Persamaan (1):
\[
2(y + 6) + 4y - \lambda = 0 \quad \Rightarrow 2y + 12 + 4y - \lambda = 0 \quad \Rightarrow 6y + 12 - \lambda = 0 \quad \Rightarrow \lambda = 6y + 12
\]

#### Substitusi ke Persamaan (2):
\[
4(y + 6) + 2y + \lambda = 0 \quad \Rightarrow 4y + 24 + 2y + \lambda = 0 \quad \Rightarrow 6y + 24 + \lambda = 0
\]
Substitusi \( \lambda = 6y + 12 \) ke persamaan ini:
\[
6y + 24 + (6y + 12) = 0 \quad \Rightarrow 12y + 36 = 0 \quad \Rightarrow 12y = -36 \quad \Rightarrow y = -3
\]

### 4. Temukan Nilai \( x \):
Dari \( x = y + 6 \), kita dapatkan:
\[
x = -3 + 6 = 3
\]

### 5. Hitung Nilai Minimum:
Substitusi \( x = 3 \) dan \( y = -3 \) ke dalam fungsi \( f(x, y) \):
\[
f(3, -3) = 3^2 + 4(3)(-3) + (-3)^2 = 9 - 36 + 9 = -18
\]

### Jadi, nilai minimum dari fungsi adalah \( \mathbf{-18} \).

Apakah Anda ingin detail lebih lanjut atau ada pertanyaan terkait langkah-langkah di atas?

Berikut adalah beberapa pertanyaan yang relevan untuk memperdalam pemahaman:
1. Apa itu metode Lagrange Multiplier, dan dalam situasi apa kita menggunakannya?
2. Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan non-linear dengan kendala?
3. Mengapa fungsi Lagrange efektif untuk optimisasi dengan kendala?
4. Bagaimana pengaruh nilai kendala terhadap solusi akhir dalam kasus ini?
5. Apa perbedaan antara metode Lagrange dan metode substitusi langsung dalam optimasi?

**Tip**: Selalu periksa kondisi batas dan fungsi kendala sebelum menerapkan metode Lagrange untuk menghindari kesalahan perhitungan.

Discover how to find the minimum value of the function f(x, y) = x² + 4xy + y² subject to the constraint x - y = 6 using the Lagrange Multiplier method. Detailed step-by-step solution involving partial derivatives and solving a system of equations. Suitable for undergraduate students learning optimization techniques.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation