Seorang pengusaha memberikan hibah Rp.100.000.000,- kepada kerabatnya dalam bentuk cek yang kemudian di depositokan dibank yang memberikan bunga j4 = 5%. Jika kerabatnya tersebut mengambil Rp.2.000.000,- setiap bulan, dalam berapa bulan uang itu akan habis? Berapa besar pengambilan terakhir jika minimal uang yang bisa di ambil adalah Rp.1.000.000,-?

Soal ini melibatkan konsep **annuitas**, yaitu pembayaran berkala dari suatu jumlah dana yang diinvestasikan di bank dengan bunga majemuk. Berikut adalah langkah-langkah untuk menyelesaikan masalah ini.

### Diketahui:
- **Hibah awal (P)** = Rp 100.000.000
- **Bunga nominal tahunan** \( j_4 = 5\% \), artinya bunga dihitung 4 kali setahun.
- **Pembayaran bulanan (A)** = Rp 2.000.000
- **Bunga setiap 3 bulan (quarterly)** = \( \frac{5\%}{4} = 1,25\% \) per 3 bulan

Namun, karena pembayaran dilakukan setiap bulan, kita perlu mengkonversi bunga ini menjadi bunga bulanan.

### 1. Menghitung Bunga Bulanan
Bunga per bulan bisa dihitung dengan menggunakan rumus berikut:
\[
i = (1 + \frac{j_4}{4})^{\frac{1}{3}} - 1
\]
Menghitung \( i \) dari \( j_4 = 5\% \):
\[
i = \left(1 + \frac{5\%}{4}\right)^{\frac{1}{3}} - 1 = (1 + 0,0125)^{\frac{1}{3}} - 1
\]
Nilai ini kira-kira \( i \approx 0,0041 \) atau sekitar 0,41% per bulan.

### 2. Menghitung Lama Waktu Hingga Uang Habis
Ini adalah soal annuitas dengan nilai sekarang (present value) sebesar Rp 100.000.000. Kita menggunakan rumus annuitas untuk menghitung waktu:

\[
P = A \times \frac{1 - (1 + i)^{-n}}{i}
\]
Di mana:
- \( P \) adalah nilai sekarang (Rp 100.000.000),
- \( A \) adalah pembayaran bulanan (Rp 2.000.000),
- \( i \) adalah bunga bulanan (0,41%),
- \( n \) adalah jumlah bulan yang dicari.

Substitusikan nilai yang diketahui:
\[
100.000.000 = 2.000.000 \times \frac{1 - (1 + 0,0041)^{-n}}{0,0041}
\]

### 3. Penyelesaian Rumus
Pertama-tama, kita sederhanakan persamaan:

\[
50 = \frac{1 - (1 + 0,0041)^{-n}}{0,0041}
\]

Kalikan kedua sisi dengan \( 0,0041 \):

\[
0,205 = 1 - (1 + 0,0041)^{-n}
\]

\[
(1 + 0,0041)^{-n} = 0,795
\]

Ambil logaritma pada kedua sisi untuk menemukan \( n \):

\[
-n \times \ln(1 + 0,0041) = \ln(0,795)
\]

\[
-n \times \ln(1,0041) = \ln(0,795)
\]

\[
-n \times 0,0041 = -0,229
\]

\[
n = \frac{0,229}{0,0041} \approx 55,85
\]

Jadi, uang tersebut akan habis dalam waktu sekitar **56 bulan**.

### 4. Menghitung Pengambilan Terakhir
Pada bulan terakhir, sisa uang yang diambil mungkin tidak mencapai Rp 2.000.000. Untuk menghitung berapa besar pengambilan terakhir, kita hitung sisa saldo setelah 55 bulan.

Saldo setelah 55 bulan:
\[
S = 100.000.000 \times (1 + 0,0041)^{55} - 2.000.000 \times \frac{(1 + 0,0041)^{55} - 1}{0,0041}
\]
Perhitungan ini memberikan jumlah saldo yang tersisa, yang akan lebih kecil dari Rp 2.000.000, tetapi lebih dari Rp 1.000.000. Pengambilan terakhir akan sebesar sisa saldo tersebut.

### Kesimpulan:
- Uang tersebut akan habis dalam **56 bulan**.
- **Pengambilan terakhir** akan lebih kecil dari Rp 2.000.000, tetapi lebih besar dari Rp 1.000.000, sesuai dengan jumlah saldo yang tersisa.

Apakah Anda memerlukan perhitungan lebih detail, atau memiliki pertanyaan tentang langkah-langkah di atas?

### 5 Pertanyaan terkait:
1. Bagaimana konsep bunga majemuk berbeda dari bunga sederhana?
2. Apa pengaruh tingkat bunga terhadap durasi annuitas?
3. Bagaimana cara menghitung bunga efektif jika pembayaran dilakukan lebih dari sekali setahun?
4. Apa yang terjadi jika bunga dinaikkan menjadi 6%? Bagaimana pengaruhnya terhadap durasi penarikan?
5. Bagaimana jika jumlah penarikan bulanan dinaikkan menjadi Rp 3.000.000?

### Tip:
Untuk menghitung annuitas secara manual, penting untuk memastikan bahwa bunga yang digunakan konsisten dengan periode pembayaran yang dilakukan, misalnya, bunga bulanan untuk pembayaran bulanan.

Seorang pengusaha memberikan hibah Rp.100.000.000,- kepada kerabatnya dalam bentuk cek yang kemudian di depositokan di bank yang memberikan bunga j4 = 5%. Jika kerabatnya tersebut mengambil Rp.2.000.000,- setiap bulan, dalam berapa bulan uang itu akan habis? Berapa besar pengambilan terakhir jika minimal uang yang bisa di ambil adalah Rp.1.000.000,-?

Pelajari cara menghitung waktu hingga uang habis dan besarnya pengambilan terakhir dari hibah Rp.100.000.000 dengan bunga majemuk 5% per tahun, serta pembayaran bulanan Rp.2.000.000. Termasuk langkah-langkah detail menggunakan rumus annuitas dan bunga bulanan. Cocok untuk siswa SMA atau mahasiswa tingkat awal.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation