Para resolver este problema, utilizaremos las leyes de la dinámica y el concepto de fuerza centrípeta. La máxima velocidad con la que un coche puede circular por una curva depende de la fuerza de rozamiento y de las características de la curva, como el radio y el peralte (inclinación de la carretera).

Datos del problema:

• Radio de la curva ($R$) = 0.5 km = 500 m
• Coeficiente de rozamiento ($\mu$) = 0.75
• Peralte ($\theta$) = 15º
• Gravedad ($g$) = 9.81 m/s²

Ecuación para la máxima velocidad:

La máxima velocidad con la que el coche puede tomar la curva sin deslizarse se puede calcular considerando el equilibrio entre la fuerza centrípeta y las fuerzas que actúan sobre el coche (fuerza normal, peso y rozamiento).

La fuerza centrípeta que mantiene al coche en la curva es:

$F_c = \frac{m v^2}{R}$

Donde:

• $F_c$ es la fuerza centrípeta
• $m$ es la masa del coche
• $v$ es la velocidad del coche
• $R$ es el radio de la curva

La fuerza de rozamiento y la componente de la fuerza normal permiten que el coche mantenga la trayectoria en la curva. La ecuación que relaciona todos estos factores, considerando el peralte, es:

$v_{\text{max}} = \sqrt{R g \left( \mu \cos\theta + \sin\theta \right)}$

Sustituyendo los valores:

• $R = 500 \, \text{m}$
• $\mu = 0.75$
• $\theta = 15º$
• $g = 9.81 \, \text{m/s}^2$

Primero, calculemos los valores de $\cos\theta$ y $\sin\theta$: $\cos(15^\circ) \approx 0.9659, \quad \sin(15^\circ) \approx 0.2588$

Sustituyendo en la ecuación:

$v_{\text{max}} = \sqrt{500 \cdot 9.81 \left( 0.75 \cdot 0.9659 + 0.2588 \right)}$

Calculando:

$v_{\text{max}} = \sqrt{500 \cdot 9.81 \left( 0.7244 + 0.2588 \right)}$ $v_{\text{max}} = \sqrt{500 \cdot 9.81 \cdot 0.9832}$ $v_{\text{max}} = \sqrt{4816.77}$ $v_{\text{max}} \approx 69.42 \, \text{m/s}$

Resultado final:

La máxima velocidad con la que el automóvil puede circular con seguridad por la curva es de 69.42 m/s (aproximadamente 250.0 km/h).

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¿Te gustaría más detalles sobre el procedimiento? Si tienes preguntas, no dudes en preguntar.

Aquí tienes algunas preguntas adicionales relacionadas con el tema:

1. ¿Cómo cambiaría la velocidad si el peralte fuera mayor?
2. ¿Qué ocurre si el coeficiente de rozamiento es menor debido a una carretera mojada?
3. ¿Cómo influye la masa del coche en la velocidad máxima si el peralte es cero?
4. ¿Qué sucede si el radio de la curva se reduce a la mitad?
5. ¿Cómo se vería afectada la velocidad en ausencia de peralte?

Tip: En carreteras mojadas, el coeficiente de rozamiento disminuye, lo que afecta significativamente la seguridad al tomar curvas a altas velocidades.