Un coche circula por la curva de una carretera de 1/2 km de radio. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre las ruedas del automóvil y el asfalto seco es de 0.75, calcular la máxima velocidad con el que el automóvil puede describir la curva con seguridad en los casos siguientes:  la curva tiene un peralte de 15º.

Para resolver este problema, utilizaremos las leyes de la dinámica y el concepto de fuerza centrípeta. La máxima velocidad con la que un coche puede circular por una curva depende de la fuerza de rozamiento y de las características de la curva, como el radio y el peralte (inclinación de la carretera).

**Datos del problema:**
- Radio de la curva (\(R\)) = 0.5 km = 500 m
- Coeficiente de rozamiento (\(\mu\)) = 0.75
- Peralte (\(\theta\)) = 15º
- Gravedad (\(g\)) = 9.81 m/s²

### Ecuación para la máxima velocidad:

La máxima velocidad con la que el coche puede tomar la curva sin deslizarse se puede calcular considerando el equilibrio entre la fuerza centrípeta y las fuerzas que actúan sobre el coche (fuerza normal, peso y rozamiento).

La fuerza centrípeta que mantiene al coche en la curva es:

\[
F_c = \frac{m v^2}{R}
\]

Donde:
- \(F_c\) es la fuerza centrípeta
- \(m\) es la masa del coche
- \(v\) es la velocidad del coche
- \(R\) es el radio de la curva

La fuerza de rozamiento y la componente de la fuerza normal permiten que el coche mantenga la trayectoria en la curva. La ecuación que relaciona todos estos factores, considerando el peralte, es:

\[
v_{\text{max}} = \sqrt{R g \left( \mu \cos\theta + \sin\theta \right)}
\]

### Sustituyendo los valores:

- \(R = 500 \, \text{m}\)
- \(\mu = 0.75\)
- \(\theta = 15º\)
- \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)

Primero, calculemos los valores de \(\cos\theta\) y \(\sin\theta\):
\[
\cos(15^\circ) \approx 0.9659, \quad \sin(15^\circ) \approx 0.2588
\]

Sustituyendo en la ecuación:

\[
v_{\text{max}} = \sqrt{500 \cdot 9.81 \left( 0.75 \cdot 0.9659 + 0.2588 \right)}
\]

Calculando:

\[
v_{\text{max}} = \sqrt{500 \cdot 9.81 \left( 0.7244 + 0.2588 \right)}
\]
\[
v_{\text{max}} = \sqrt{500 \cdot 9.81 \cdot 0.9832}
\]
\[
v_{\text{max}} = \sqrt{4816.77}
\]
\[
v_{\text{max}} \approx 69.42 \, \text{m/s}
\]

### Resultado final:
La máxima velocidad con la que el automóvil puede circular con seguridad por la curva es de **69.42 m/s** (aproximadamente **250.0 km/h**).

---

¿Te gustaría más detalles sobre el procedimiento? Si tienes preguntas, no dudes en preguntar.

Aquí tienes algunas preguntas adicionales relacionadas con el tema:

1. ¿Cómo cambiaría la velocidad si el peralte fuera mayor?
2. ¿Qué ocurre si el coeficiente de rozamiento es menor debido a una carretera mojada?
3. ¿Cómo influye la masa del coche en la velocidad máxima si el peralte es cero?
4. ¿Qué sucede si el radio de la curva se reduce a la mitad?
5. ¿Cómo se vería afectada la velocidad en ausencia de peralte?

**Tip**: En carreteras mojadas, el coeficiente de rozamiento disminuye, lo que afecta significativamente la seguridad al tomar curvas a altas velocidades.

Un coche circula por la curva de una carretera de 1/2 km de radio. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre las ruedas del automóvil y el asfalto seco es de 0.75, calcular la máxima velocidad con el que el automóvil puede describir la curva con seguridad en los casos siguientes: la curva tiene un peralte de 15º.

Calculate the maximum speed a car can safely navigate a curve with a 15° bank and 0.75 friction coefficient using centripetal force and motion dynamics. Includes step-by-step calculations for a road with a radius of 500 meters.

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