Давайте решим задачу.

Дано:

• $a$ и $b$ — натуральные числа, которые не делятся друг на друга ($\gcd(a, b) = 1$).
• Наименьшее общее кратное ($\text{НОК}(a, b)$) имеет ровно 77 натуральных делителей.

Нужно найти максимальное возможное количество делителей числа $a$.

Разбор

Количество делителей числа связано с его разложением на простые множители. Пусть: $a = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \dots p_k^{e_k}, \quad b = q_1^{f_1} q_2^{f_2} \dots q_m^{f_m},$ где $p_i$ и $q_j$ — различные простые числа.

Для числа $\text{НОК}(a, b)$ выполняется: $\text{НОК}(a, b) = p_1^{e_1} \dots p_k^{e_k} \cdot q_1^{f_1} \dots q_m^{f_m}.$

Количество делителей числа вычисляется по формуле: $d(n) = (e_1 + 1)(e_2 + 1)\dots(e_k + 1).$

Поскольку $\gcd(a, b) = 1$, множества простых чисел $\{p_1, p_2, \dots\}$ и $\{q_1, q_2, \dots\}$ не пересекаются. Для $\text{НОК}(a, b)$ выполняется: $d(\text{НОК}(a, b)) = d(a) \cdot d(b).$

Из условия: $d(\text{НОК}(a, b)) = 77$.

---

Факторизация 77

Разложим 77 на множители: $77 = 7 \cdot 11.$

Это означает, что возможны такие сочетания:

• $d(a) = 7$, $d(b) = 11$,
• $d(a) = 11$, $d(b) = 7$.

Нужно найти максимальное значение $d(a)$. Очевидно, $d(a) = 11$.

---

Интерпретация $d(a) = 11$

Если число $a$ имеет 11 делителей, то его структура может быть:

1. $a = p^{10}$ ($10 + 1 = 11$),
2. $a = p_1^4 \cdot p_2^1$ ($(4 + 1)(1 + 1) = 5 \cdot 2 = 10$).

Первый вариант максимизирует $a$, так как число степеней у одного простого числа больше.

---

Ответ

Наибольшее количество делителей числа $a$ равно 11.