En el pizarrón están escritos varios enteros positivos menores que 200 tales que ninguno
de ellos divide al mínimo común múltiplo de los restantes. Determinar la máxima cantidad de
números que pueden estar escritos en el pizarrón.

Para resolver este problema, buscamos determinar la máxima cantidad de números enteros positivos menores que 200 que se pueden escribir en un pizarrón, de modo que ninguno de ellos divida al mínimo común múltiplo (MCM) de los demás.

### Observaciones iniciales:
1. **Condición del problema**: Si un número \( n \) está en el pizarrón, entonces no debe dividir al MCM de los otros números escritos. Esto significa que ningún número puede ser un divisor "redundante" para el conjunto total, o de lo contrario violaría la condición.
  
2. **Estrategia**: Para maximizar la cantidad de números en el pizarrón, conviene buscar un conjunto de números que sean lo más "independientes" posible entre ellos, en términos de divisibilidad. En este sentido, los números **primos** son buenos candidatos, ya que un primo no puede dividir al MCM de otros números que no lo contengan como factor.

### Procedimiento:
- Si tomamos todos los números primos menores que 200, sabemos que ningún primo divide al MCM de los demás, porque el MCM de varios números primos es simplemente su producto. Esto satisface la condición del problema.
  
- Además de los primos, podemos intentar agregar otros números que no dividan al MCM de los primos. Sin embargo, dado que cualquier número compuesto será divisible por al menos un primo, esto podría causar conflictos con la condición planteada. Por lo tanto, los números primos son los mejores candidatos.

### Paso 1: Listar los números primos menores que 200
Los números primos menores que 200 son:

\[ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197 \]

En total hay **46 números primos menores que 200**.

### Paso 2: Verificar la condición
Si elegimos solo los números primos, el MCM de cualquier subconjunto de ellos será simplemente el producto de esos números primos. Dado que ningún primo divide a otro, se cumple la condición del problema.

### Conclusión:
La máxima cantidad de números que pueden estar escritos en el pizarrón es **46**, que corresponde a la cantidad de números primos menores que 200.

¿Te gustaría que detallara más este razonamiento o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cuál es el MCM de los números primos menores que 50?
2. ¿Cuántos números compuestos menores que 100 son coprimos entre sí?
3. ¿Cómo calcular el MCM de dos números primos y dos números compuestos?
4. ¿Qué sucede si agregamos números compuestos que sean productos de dos primos menores que 200?
5. ¿Cómo afecta la inclusión del número 1 a la condición del problema?

### Tip:
El MCM de un conjunto de números primos siempre será el producto de esos primos, ya que no comparten factores comunes.

En el pizarrón están escritos varios enteros positivos menores que 200 tales que ninguno de ellos divide al mínimo común múltiplo de los restantes. Determinar la máxima cantidad de números que pueden estar escritos en el pizarrón.

Explore how to determine the maximum number of integers less than 200 such that none divide the least common multiple of the others. This problem introduces key concepts from number theory, including the role of prime numbers and divisibility. Suitable for advanced high school students (Grades 9-12).

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