Untuk menyelesaikan masalah ini, kita akan menghitung determinan dari dua matriks yang diberikan pada soal, yaitu matriks $A$ dari bagian (a) dan (b). Kita juga akan membuktikan bahwa $|A| = |A^T|$, yang merupakan sifat umum dari determinan matriks, di mana determinan dari suatu matriks sama dengan determinan dari transpose matriks tersebut.

Sifat Determinan:

• Determinan dari transpose suatu matriks sama dengan determinan matriks tersebut, atau secara matematis ditulis: $|A| = |A^T|$ Ini berarti nilai determinan matriks $A$ sama dengan determinan dari transpose $A$.

Bagian (a):

Matriks $A$ adalah: $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

Untuk menghitung determinan dari matriks 3x3, kita menggunakan aturan Sarrus:

$|A| = 2 \times (1 \times 1 - 2 \times 2) - 1 \times (0 \times 1 - 2 \times 1) + 3 \times (0 \times 2 - 1 \times 1)$

Sekarang kita hitung.

$|A| = 2 \times (1 - 4) - 1 \times (0 - 2) + 3 \times (0 - 1)$ $|A| = 2 \times (-3) - 1 \times (-2) + 3 \times (-1)$ $|A| = -6 + 2 - 3 = -7$

Jadi, determinan $A$ adalah $|A| = -7$.

Karena $|A| = |A^T|$, maka $|A^T| = -7$.

Bagian (b):

Matriks $A$ adalah: $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

Kita hitung determinan menggunakan metode yang sama:

$|A| = 1 \times (0 \times 2 - 1 \times 2) - 2 \times (3 \times 2 - 1 \times 2) + (-1) \times (3 \times 1 - 0 \times 1)$

$|A| = 1 \times (0 - 2) - 2 \times (6 - 2) + (-1) \times (3 - 0)$ $|A| = 1 \times (-2) - 2 \times 4 + (-1) \times 3$ $|A| = -2 - 8 - 3 = -13$

Jadi, determinan $A$ adalah $|A| = -13$.

Karena $|A| = |A^T|$, maka $|A^T| = -13$.

Kesimpulan:

• Bagian (a): $|A| = |A^T| = -7$
• Bagian (b): $|A| = |A^T| = -13$

Kita telah membuktikan bahwa $|A| = |A^T|$, sesuai dengan sifat determinan matriks.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan? Berikut 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana aturan Sarrus diterapkan pada matriks 4x4?
2. Apa hubungan antara determinan dan invers matriks?
3. Bagaimana pengaruh elemen nol pada matriks terhadap nilai determinan?
4. Apa perbedaan antara determinan matriks singular dan non-singular?
5. Bagaimana determinan matriks digunakan dalam transformasi linier?

Tip: Untuk matriks besar, Anda bisa menggunakan metode eliminasi Gauss untuk mempercepat perhitungan determinan.