Dado que $A$ y $B$ son matrices de orden 2, y conociendo los valores de los determinantes de $A$ y $B$, es posible calcular los determinantes requeridos aplicando las propiedades de los determinantes. Vamos a resolver los diferentes casos uno por uno:

1. $|AB^T|$ (determinante de $AB^T$)

Sabemos que el determinante del producto de matrices es igual al producto de los determinantes de las matrices. Además, $|B^T| = |B|$, ya que el determinante de una matriz es el mismo que el de su traspuesta.

$|AB^T| = |A| \cdot |B^T| = |A| \cdot |B| = (-2) \cdot 4 = -8$

2. $|A^T|$ (determinante de la traspuesta de $A$)

El determinante de la traspuesta de una matriz es igual al determinante de la matriz original:

$|A^T| = |A| = -2$

3. $|B^{-1}|$ (determinante de la inversa de $B$)

El determinante de la inversa de una matriz es igual al inverso del determinante de la matriz:

$|B^{-1}| = \frac{1}{|B|} = \frac{1}{4}$

4. $|A^{-1}B|$ (determinante de $A^{-1}B$)

El determinante del producto de matrices es igual al producto de los determinantes. Además, el determinante de la inversa de $A$ es $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$:

$|A^{-1}B| = |A^{-1}| \cdot |B| = \frac{1}{|A|} \cdot |B| = \frac{1}{-2} \cdot 4 = -2$

5. $|3A|$ (determinante de la matriz $3A$)

Cuando multiplicamos una matriz por un escalar $c$, el determinante de la matriz resultante es $c^n \cdot |A|$, donde $n$ es el orden de la matriz (en este caso, $n = 2$):

$|3A| = 3^2 \cdot |A| = 9 \cdot (-2) = -18$

Resumen de las respuestas:

1. $|AB^T| = -8$
2. $|A^T| = -2$
3. $|B^{-1}| = \frac{1}{4}$
4. $|A^{-1}B| = -2$
5. $|3A| = -18$

¿Te gustaría más detalles o alguna aclaración sobre estos resultados?

Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se calcula la inversa de una matriz de orden 2?
2. ¿Qué propiedades del determinante facilitan los cálculos de productos de matrices?
3. ¿Qué implicaciones tiene el signo del determinante en el comportamiento de una matriz?
4. ¿Cómo se relaciona el determinante con la invertibilidad de una matriz?
5. ¿Qué sucede con el determinante cuando se añade una fila a otra fila en una matriz?

Tip:

El determinante de una matriz $n \times n$ multiplicada por un escalar $c$ es $c^n$ veces el determinante original.