Pour résoudre le problème et calculer $A^2 + 2A \times B + B^2$, procédons étape par étape.

Les matrices données :

• $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$
• $B = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}$

Étapes de calcul :

1. Calcul de $A^2$ :

$A^2 = A \times A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$

$A^2 = \begin{pmatrix} 2 \times 2 + (-1) \times 3 & 2 \times (-1) + (-1) \times 0 \\ 3 \times 2 + 0 \times 3 & 3 \times (-1) + 0 \times 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 3 & -2 \\ 6 & -3 \end{pmatrix}$

$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 6 & -3 \end{pmatrix}$

2. Calcul de $2A \times B$ :

$2A = 2 \times \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 6 & 0 \end{pmatrix}$

$2A \times B = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}$

$2A \times B = \begin{pmatrix} 4 \times 5 + (-2) \times 4 & 4 \times 1 + (-2) \times 8 \\ 6 \times 5 + 0 \times 4 & 6 \times 1 + 0 \times 8 \end{pmatrix}$

$2A \times B = \begin{pmatrix} 20 - 8 & 4 - 16 \\ 30 + 0 & 6 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & -12 \\ 30 & 6 \end{pmatrix}$

3. Calcul de $B^2$ :

$B^2 = B \times B = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 8 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}$

$B^2 = \begin{pmatrix} 5 \times 5 + 1 \times 4 & 5 \times 1 + 1 \times 8 \\ 4 \times 5 + 8 \times 4 & 4 \times 1 + 8 \times 8 \end{pmatrix}$

$B^2 = \begin{pmatrix} 25 + 4 & 5 + 8 \\ 20 + 32 & 4 + 64 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 29 & 13 \\ 52 & 68 \end{pmatrix}$

4. Additionner $A^2 + 2A \times B + B^2$ :

$A^2 + 2A \times B + B^2 = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 6 & -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 12 & -12 \\ 30 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 29 & 13 \\ 52 & 68 \end{pmatrix}$

$A^2 + 2A \times B + B^2 = \begin{pmatrix} 1 + 12 + 29 & -2 - 12 + 13 \\ 6 + 30 + 52 & -3 + 6 + 68 \end{pmatrix}$

$A^2 + 2A \times B + B^2 = \begin{pmatrix} 42 & -1 \\ 88 & 71 \end{pmatrix}$

Résultat final :

$A^2 + 2A \times B + B^2 = \begin{pmatrix} 42 & -1 \\ 88 & 71 \end{pmatrix}$

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Questions associées :

1. Comment multiplier des matrices en général ?
2. Pourquoi $A^2 + 2A \times B + B^2$ est-il un calcul fréquent en algèbre linéaire ?
3. Que représente cette opération dans un contexte géométrique ou physique ?
4. Existe-t-il une méthode simplifiée pour vérifier les calculs matriciels ?
5. Comment les puissances de matrices peuvent-elles être calculées rapidement ?

Tip :

Lorsque vous travaillez avec des matrices, vérifiez toujours que leurs dimensions permettent les opérations comme le produit.