Pour calculer $(A + B)^2$, nous suivons ces étapes :

Étape 1 : Matrices données

Les matrices $A$ et $B$ sont :

$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 8 \end{pmatrix}.$

Étape 2 : Addition des matrices $A + B$

On additionne chaque élément correspondant des deux matrices : $A + B = \begin{pmatrix} 2+5 & -1+4 \\ 3+1 & 0+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 3 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}.$

Étape 3 : Calcul de $(A+B)^2$

Pour $(A+B)^2$, il s'agit du produit de la matrice $A+B$ avec elle-même : $(A+B)^2 = (A+B) \times (A+B).$

Effectuons le produit matriciel : $(A+B) \times (A+B) = \begin{pmatrix} 7 & 3 \\ 4 & 8 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 7 & 3 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}.$

Calculons chaque élément du produit :

1. Élément $(1,1)$ : $7 \times 7 + 3 \times 4 = 49 + 12 = 61$,
2. Élément $(1,2)$ : $7 \times 3 + 3 \times 8 = 21 + 24 = 45$,
3. Élément $(2,1)$ : $4 \times 7 + 8 \times 4 = 28 + 32 = 60$,
4. Élément $(2,2)$ : $4 \times 3 + 8 \times 8 = 12 + 64 = 76$.

Ainsi, $(A+B)^2 = \begin{pmatrix} 61 & 45 \\ 60 & 76 \end{pmatrix}.$

Résultat final :

$(A+B)^2 = \begin{pmatrix} 61 & 45 \\ 60 & 76 \end{pmatrix}.$

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Souhaitez-vous des précisions ou avez-vous des questions ?
Voici 5 questions pour approfondir :

1. Pouvez-vous démontrer que la multiplication des matrices est associative ?
2. Comment généraliser cette méthode pour des matrices $n \times n$ ?
3. Que se passe-t-il si $A + B$ n’est pas carrée ?
4. Quel rôle jouent les éléments diagonaux dans le calcul des matrices carrées ?
5. Pouvez-vous prouver si $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ est valable ici ?

Tip : Vérifiez toujours la commutativité dans les produits matriciels (attention : les matrices ne sont pas commutatives en général).