Pour résoudre $(A + B)^2$, nous suivrons les étapes ci-dessous :

Données :

Matrices $A$ et $B$ : $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 8 \end{bmatrix}$

Étape 1 : Calculer $A + B$

Addition des matrices $A$ et $B$ : $A + B = \begin{bmatrix} 2+5 & -1+4 \\ 3+1 & 0+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 3 \\ 4 & 8 \end{bmatrix}$

Étape 2 : Calculer $(A + B)^2$

Le carré d'une matrice est donné par le produit matriciel de cette matrice par elle-même : $(A + B)^2 = (A + B) \cdot (A + B)$

Calculons le produit : $(A + B)^2 = \begin{bmatrix} 7 & 3 \\ 4 & 8 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 7 & 3 \\ 4 & 8 \end{bmatrix}$

Effectuons les multiplications :

1. $(1, 1)$ : $7 \cdot 7 + 3 \cdot 4 = 49 + 12 = 61$
2. $(1, 2)$ : $7 \cdot 3 + 3 \cdot 8 = 21 + 24 = 45$
3. $(2, 1)$ : $4 \cdot 7 + 8 \cdot 4 = 28 + 32 = 60$
4. $(2, 2)$ : $4 \cdot 3 + 8 \cdot 8 = 12 + 64 = 76$

Ainsi : $(A + B)^2 = \begin{bmatrix} 61 & 45 \\ 60 & 76 \end{bmatrix}$

Résultat final :

$(A + B)^2 = \begin{bmatrix} 61 & 45 \\ 60 & 76 \end{bmatrix}$

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Astuce :

Lorsque vous travaillez avec des matrices, vérifiez toujours leur compatibilité (dimensions) avant d'effectuer des opérations comme l'addition ou le produit.