لحل هذا التمرين، سنقوم بتحليل المطلوب خطوة بخطوة. الصورة الأولى تحتوي على تعريف المتتالية $u_n$ والمتتالية $v_n$، مع طلب إثبات أن المتتالية $v_n$ هندسية. أما الصورة الثانية فتحتوي على أسئلة إضافية تتعلق بحساب تعبيرات $S$ و$S'$.

---

الجزء الأول: إثبات أن $v_n$ متتالية هندسية

المعطيات:

• $u_0 = 1$
• $u_{n+1} = \frac{-1}{2u_n + 3}$
• $v_n = \frac{2u_n + 1}{u_n + 1}$

إثبات أن $v_n$ هندسية:

1. نحسب النسبة بين حدين متتاليين $\frac{v_{n+1}}{v_n}$: $v_{n+1} = \frac{2u_{n+1} + 1}{u_{n+1} + 1}$ وبتعويض $u_{n+1} = \frac{-1}{2u_n + 3}$: $v_{n+1} = \frac{2\left(\frac{-1}{2u_n + 3}\right) + 1}{\left(\frac{-1}{2u_n + 3}\right) + 1}$

2. تبسيط التعبير:

   • البسط: $2\left(\frac{-1}{2u_n + 3}\right) + 1 = \frac{-2}{2u_n + 3} + 1 = \frac{-2 + (2u_n + 3)}{2u_n + 3} = \frac{2u_n + 1}{2u_n + 3}$
   • المقام: $\frac{-1}{2u_n + 3} + 1 = \frac{-1 + (2u_n + 3)}{2u_n + 3} = \frac{2u_n + 2}{2u_n + 3}$

   وبالتالي: $v_{n+1} = \frac{\frac{2u_n + 1}{2u_n + 3}}{\frac{2u_n + 2}{2u_n + 3}} = \frac{2u_n + 1}{2u_n + 2}$

3. نحسب النسبة $\frac{v_{n+1}}{v_n}$: باستخدام $v_n = \frac{2u_n + 1}{u_n + 1}$: $\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{\frac{2u_n + 1}{2u_n + 2}}{\frac{2u_n + 1}{u_n + 1}} = \frac{u_n + 1}{2u_n + 2}$

   النسبة ثابتة، مما يثبت أن $v_n$ متتالية هندسية.

---

الجزء الثاني: التعبيرات $S$ و$S'$

1. التعبير عن $S$:

$S = \frac{1}{u_0 + 1} + \frac{1}{u_1 + 1} + \cdots + \frac{1}{u_n + 1}$

2. التعبير عن $S'$:

$S' = u_0(v_0 - 2) + u_1(v_1 - 2) + \cdots + u_n(v_n - 2)$

---

هل تريد حلًا تفصيليًا لكل تعبير؟