Bestimmen Sie die Lösung des Anfangwertproblems xy2(x)+y(x)-xy'(x)=0, y(1)=2 mit Hilfe eines integrierenden Faktors der Form M=M(t) mit t=t(x,y)=y. Geben Sie dabei die implizite und explizite Form der Lösung an. Please solve this math problem from my german höhere mathematik 3 exam.

Das gegebene Anfangswertproblem lautet:

\[
xy^2(x) + y(x) - x y'(x) = 0 \quad \text{mit} \quad y(1) = 2
\]

Wir sollen dieses Problem mithilfe eines integrierenden Faktors \( M(t) \) lösen, wobei \( t = t(x, y) = y \). Dabei wird der integrierende Faktor nur von \( y \) abhängen.

### Schritt 1: Umformen der Gleichung

Die Differentialgleichung hat die Form:

\[
xy^2 + y - x y'(x) = 0
\]

Wir bringen sie in die Form einer inhomogenen Differentialgleichung 1. Ordnung:

\[
x y'(x) = xy^2 + y
\]

Teilen durch \( x \):

\[
y'(x) = y^2 + \frac{y}{x}
\]

### Schritt 2: Methode des integrierenden Faktors

Wir setzen den integrierenden Faktor \( M(t) = M(y) \) an. Das Ziel ist, die linke Seite der Gleichung so zu multiplizieren, dass sie als vollständige Ableitung erkennbar wird.

Die Differentialgleichung lautet nach Multiplikation mit dem integrierenden Faktor \( M(y) \):

\[
M(y) y'(x) = M(y) \left( y^2 + \frac{y}{x} \right)
\]

Wir wählen den integrierenden Faktor so, dass die rechte Seite der Gleichung eine exakte Differentialgleichung wird. Dazu untersuchen wir den Ausdruck:

\[
M(y) y'(x) = M(y) \cdot y^2 + M(y) \cdot \frac{y}{x}
\]

Das Ziel ist, \( M(y) \) so zu wählen, dass dieser Ausdruck als die Ableitung einer Funktion erkannt wird, z.B. in der Form \( \frac{d}{dx} \left( M(y(x)) \cdot x \cdot y(x) \right) \).

Wir vermuten, dass \( M(y) = \frac{1}{y^2} \) ein geeigneter integrierender Faktor ist.

### Schritt 3: Lösung mit integriertem Faktor

Multiplizieren wir die Differentialgleichung durch \( \frac{1}{y^2} \), ergibt sich:

\[
\frac{1}{y^2} y'(x) = 1 + \frac{1}{x y}
\]

Diese Gleichung ist jetzt lösbar, da sie sich auf folgende Form reduzieren lässt:

\[
\frac{d}{dx} \left( -\frac{1}{y(x)} \right) = 1 + \frac{1}{x}
\]

### Schritt 4: Integration der Gleichung

Wir integrieren nun beide Seiten der Gleichung:

\[
-\frac{1}{y(x)} = \int \left( 1 + \frac{1}{x} \right) dx
\]

\[
-\frac{1}{y(x)} = x + \ln |x| + C
\]

wobei \( C \) eine Konstante ist. Um nach \( y(x) \) aufzulösen, multiplizieren wir beide Seiten mit \(-1\) und nehmen den Kehrwert:

\[
y(x) = \frac{1}{-(x + \ln |x| + C)}
\]

### Schritt 5: Anfangsbedingung verwenden

Die Anfangsbedingung lautet \( y(1) = 2 \). Setzen wir \( x = 1 \) in die explizite Lösung ein:

\[
2 = \frac{1}{-(1 + \ln 1 + C)} = \frac{1}{-(1 + C)}
\]

Daraus folgt:

\[
-(1 + C) = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad 1 + C = -\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad C = -\frac{3}{2}
\]

### Schritt 6: Endgültige Lösung

Die explizite Form der Lösung ist somit:

\[
y(x) = \frac{1}{-(x + \ln |x| - \frac{3}{2})}
\]

### Implizite Form der Lösung

Die implizite Form der Lösung lautet:

\[
-\frac{1}{y(x)} = x + \ln |x| - \frac{3}{2}
\]

### Fazit

Die Lösung des Anfangswertproblems lautet:

- **Implizite Form**: \[ -\frac{1}{y(x)} = x + \ln |x| - \frac{3}{2} \]
- **Explizite Form**: \[ y(x) = \frac{1}{-(x + \ln |x| - \frac{3}{2})} \]

Hast du Fragen oder möchtest du weitere Details?

Hier sind 5 weiterführende Fragen:
1. Was ist der Unterschied zwischen expliziten und impliziten Lösungen?
2. Wie wählt man geeignete integrierende Faktoren bei Differentialgleichungen?
3. Wie wirkt sich die Wahl des integrierenden Faktors auf die Lösungsfindung aus?
4. Welche anderen Methoden zur Lösung von Anfangswertproblemen kennst du?
5. Was passiert, wenn die Anfangsbedingung geändert wird?

**Tipp:** Überprüfe immer die Anfangsbedingung, um Konstante eindeutig zu bestimmen.

Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems xy^2(x) + y(x) - xy'(x) = 0, y(1) = 2 mit Hilfe eines integrierenden Faktors der Form M = M(t) mit t = t(x, y) = y.

Entdecken Sie die Lösung des Anfangswertproblems xy^2(x) + y(x) - xy'(x) = 0, y(1) = 2 mithilfe des integrierenden Faktors M = M(t), wobei t = t(x, y) = y. Detaillierte Schritt-für-Schritt-Lösung mit impliziter und expliziter Darstellung der Lösung. Geeignet für Studierende der höheren Mathematik.

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