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Die Aufgabe bezieht sich auf ein Sektglas in Form eines Kegels, wobei die Flüssigkeitshöhe \( h(V) \) (in cm) von dem eingefüllten Flüssigkeitsvolumen \( V \) (in cm³) abhängt. Die Formel für die Höhe \( h \) ist gegeben als:

\[
h(V) = \left( \frac{213V}{16\pi} \right)^{\frac{1}{3}}
\]

### Teil a: Zeichnen Sie den Funktionsgraphen
Um den Graphen von \( h(V) \) zu zeichnen, muss man die Funktion für verschiedene Werte von \( V \) berechnen. \( V \) liegt im Definitionsbereich \( D = [0, 130] \, \text{cm}^3 \). Durch Berechnung von \( h(V) \) für einige Werte von \( V \) (zum Beispiel \( V = 0 \), \( V = 10 \), \( V = 50 \), \( V = 100 \)) kann der Graph dargestellt werden. Der Graph zeigt, wie die Flüssigkeitshöhe im Glas in Abhängigkeit vom Volumen steigt.

### Teil b: Wie ändert sich \( h \), wenn das Füllvolumen von anfangs \( 30 \, \text{cm}^3 \) verdoppelt wird?
Hier muss der Zusammenhang zwischen \( h \) und \( V \) für das Volumen von \( 30 \, \text{cm}^3 \) und das doppelte Volumen \( 60 \, \text{cm}^3 \) untersucht werden. Berechne dazu \( h(30) \) und \( h(60) \) mit der gegebenen Formel:

1. \( h(30) = \left( \frac{213 \times 30}{16\pi} \right)^{\frac{1}{3}} \)
2. \( h(60) = \left( \frac{213 \times 60}{16\pi} \right)^{\frac{1}{3}} \)

Dann kann man die Änderung der Höhe \( \Delta h = h(60) - h(30) \) bestimmen.

### Teil c: Bei welchem Volumen beträgt die Füllhöhe im Glas 3 cm?
Hier soll das Volumen \( V \) ermittelt werden, bei dem die Flüssigkeitshöhe \( h = 3 \, \text{cm} \) beträgt. Setze \( h = 3 \) in die Formel ein:

\[
3 = \left( \frac{213V}{16\pi} \right)^{\frac{1}{3}}
\]

Löse diese Gleichung nach \( V \) auf:

1. Würfle beide Seiten, um den Würfelwurzelterm zu beseitigen:
   \[
   3^3 = \frac{213V}{16\pi}
   \]
   \[
   27 = \frac{213V}{16\pi}
   \]
   
2. Multipliziere mit \( 16\pi \) und teile durch \( 213 \), um \( V \) zu isolieren:
   \[
   V = \frac{27 \times 16\pi}{213}
   \]

Das ergibt das Volumen \( V \), bei dem die Höhe \( h = 3 \, \text{cm} \) beträgt.

---

Möchtest du genauere Berechnungen für die einzelnen Teile oder hast du Fragen dazu?

Hier sind 5 relative Fragen, die helfen könnten, das Verständnis zu erweitern:
1. Wie würde der Funktionsgraph für größere Volumen aussehen, wenn die Glasform anders wäre?
2. Welche Einheiten müssen beachtet werden, wenn man ähnliche Probleme mit anderen Volumina löst?
3. Wie beeinflusst die Vergrößerung des Volumens den Zusammenhang zwischen \( h \) und \( V \)?
4. Kann man die Formel für \( h(V) \) umstellen, um direkt \( V(h) \) zu berechnen?
5. Was passiert mit der Füllhöhe, wenn man das Volumen auf das Dreifache erhöht?

**Tipp**: Achte darauf, die Kubikwurzel exakt zu berechnen, da kleine Rundungsfehler zu deutlichen Abweichungen führen können.

Learn how to calculate the height of liquid in a conical glass based on the volume of liquid. Using the formula h(V) = (213V / 16π)^(1/3), this problem explores function graphs and volume-height relations. Suitable for students in Grades 10-12.

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