Eine 30 cm hohe Kerze ist nach 7,5 Std. abgebrannt.
a) Welche Gleichung beschreibt die Höhe der Kerze K (in cm) in Abhängigkeit von der Zeit t (Std.)?
b) Beschreiben die Zahlenpaare (3; 18) und (5;11) die Höhe der Kerze zu einer bestimmten Zeit?

### a) Gleichung der Kerze in Abhängigkeit von der Zeit

Wir wissen:
- Die Kerze ist anfangs 30 cm hoch.
- Nach 7,5 Stunden ist die Kerze vollständig abgebrannt, also 0 cm hoch.

Da die Kerze gleichmäßig abbrennt, handelt es sich um einen linearen Zusammenhang zwischen der Höhe \( K \) und der Zeit \( t \). Die allgemeine Form der Gleichung für eine lineare Funktion ist:

\[
K(t) = m \cdot t + b
\]

Dabei ist:
- \( K(t) \): die Höhe der Kerze in cm nach \( t \) Stunden.
- \( m \): die Steigung der Geraden (Änderung der Höhe pro Stunde).
- \( b \): der Anfangswert der Höhe (die Höhe der Kerze zu Beginn, also bei \( t = 0 \)).

1. **Anfangswert bestimmen**:
   - Zu Beginn (bei \( t = 0 \)) ist die Höhe der Kerze \( K(0) = 30 \), also \( b = 30 \).

2. **Steigung \( m \) berechnen**:
   - Nach 7,5 Stunden ist die Kerze 0 cm hoch, also \( K(7,5) = 0 \).
   - Damit können wir die Steigung \( m \) berechnen:
     \[
     m = \frac{\Delta K}{\Delta t} = \frac{0 - 30}{7,5 - 0} = \frac{-30}{7,5} = -4
     \]

   Die Steigung \( m = -4 \) bedeutet, dass die Kerze pro Stunde um 4 cm kürzer wird.

3. **Gleichung aufstellen**:
   \[
   K(t) = -4 \cdot t + 30
   \]

Diese Gleichung beschreibt die Höhe der Kerze in Abhängigkeit von der Zeit \( t \).

### b) Überprüfung der Zahlenpaare

1. **Zahlenpaar (3; 18)**:
   Setzen wir \( t = 3 \) in die Gleichung ein:
   \[
   K(3) = -4 \cdot 3 + 30 = -12 + 30 = 18
   \]
   Das Zahlenpaar \( (3; 18) \) stimmt also mit der Gleichung überein und beschreibt die Höhe der Kerze nach 3 Stunden.

2. **Zahlenpaar (5; 11)**:
   Setzen wir \( t = 5 \) in die Gleichung ein:
   \[
   K(5) = -4 \cdot 5 + 30 = -20 + 30 = 10
   \]
   Das Zahlenpaar \( (5; 11) \) stimmt **nicht** mit der Gleichung überein. Die Höhe der Kerze nach 5 Stunden beträgt 10 cm, nicht 11 cm.

---

Hast du Fragen oder möchtest du eine genauere Erklärung zu einem Teil haben?

### 5 Weiterführende Fragen:
1. Wie könnte man die Gleichung anpassen, wenn die Kerze nicht gleichmäßig abbrennt?
2. Wie lässt sich die Abbrenngeschwindigkeit grafisch darstellen?
3. Wie ändert sich die Höhe, wenn die Kerze eine andere Anfangshöhe hätte?
4. Kann man das gleiche Modell verwenden, wenn die Kerze mehrmals angezündet wird?
5. Wie würde die Gleichung aussehen, wenn die Kerze nach 10 Stunden komplett abgebrannt wäre?

### Tipp:
Überprüfe bei linearen Funktionen immer den Zusammenhang zwischen der Steigung und der realen Situation, um sicherzustellen, dass die Einheiten sinnvoll sind.

Eine 30 cm hohe Kerze ist nach 7,5 Std. abgebrannt. a) Welche Gleichung beschreibt die Höhe der Kerze K (in cm) in Abhängigkeit von der Zeit t (Std.)? b) Beschreiben die Zahlenpaare (3; 18) und (5;11) die Höhe der Kerze zu einer bestimmten Zeit?

Entdecke, wie man die Höhe einer 30 cm hohen Kerze, die nach 7,5 Stunden vollständig abgebrannt ist, mit einer linearen Funktion beschreibt. Diese Lösung zeigt Schritt für Schritt die Berechnung der Gleichung K(t) = -4t + 30 und überprüft, ob die Zahlenpaare (3; 18) und (5;11) korrekt sind. Geeignet für Schüler der Klassen 8-10.

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